山师素养讲义3容斥原理一.pdf

容斥原理一

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个

数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的

元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号

“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意

思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表

示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表

示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面

积．

1．先包含——AB

重叠部分AB计算了2次，多加了1次；

2．再排除——ABAB

把多加了1次的重叠部分AB减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两

步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把A、B的一

切元素都“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算

的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数

既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素



个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：

ABCABCABBCACABC．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个

数，大圆表示C的元素的个数．

1．先包含：ABC

重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1

次．

2．再排除：ABCABBCAC

重叠部分ABC重叠了次，但是在进行

3ABC

ABBCAC计算时都被减掉了．

3．再包含：ABCABBCACABC．

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

【练习1】有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有

75人懂英语，有83人懂俄语。那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语

【例1】森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃