专题20 概率、随机变量与分布列（4知识点 4重难点 11方法技巧 3易错易混）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习知识清单.docx

专题20概率、随机变量与分布列

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1随机事件的概率与古典概型

1、事件的相关概念

2、频率与概率的关系

（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．

3、事件的关系与运算

（1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．

（2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．

（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．

（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．

（5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥；

如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．

（6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．

4、概率的基本性质

（1）对于任意事件都有：．

（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．

（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．

推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．

（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．

（5）概率的单调性：若，则．

（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．

5、古典概型

（1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（2）古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．

知识点2相互独立事件与条件概率、全概率

1、相互独立事件

（1）相互独立事件的概念

对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．

由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．

（2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

（3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．

（4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．

2、条件概率

（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．

（2）条件概率的性质

=1\*GB3①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．

=2\*GB3②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．

=3\*GB3③如果与互斥，则．

3、全概率公式

（1）全概率公式：；

（2）若样本空间中的事件，，…，满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意事件，都有，且

．

4、贝叶斯公式

（1）一般地，当且时，有

（2）定理若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意概率非零的事件，都有，

且

知识点3随机变量的分布列、均值与方差

1、随机变量的有关概念

（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2、离散型随机变量分布列

（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：

我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．

（2）分布列的性质：（1），；（2）．

3、离散型随机变量的均值与方差

（1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（2）均值的性质

=1\*GB3①（为常数）．

=2\*GB3②若，其中为常数，则也是随机变量，且．

=3\*GB3③．

=4\*GB3④如果相互独立，则．

（