2004年第一届全国研究生数学建模竞赛B题 .pdfVIP

B题：实用下料问题

“下料问题(cuttingstockproblem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同

规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用.这里的

“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

LW

现考虑单一原材料下料问题.设这种原材料呈长方形，长度为,宽度为，现在需要将

一批这种长方形原料分割成m种规格的零件,所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽

度分别为(l,w),,(l,w)，其中w＜lL,wW,i1,,m.m种零件的需求量分

11mmiii

n,,n

别为.下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为

1m

wW,i1,,m

二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即，则问题称为

i

一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经

济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任

务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零

件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标

是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务,同时下料方

式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。

1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型,并用此模型求解下列问题，制定出在生

产能力容许的条件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料数，所

采用的下料方式数和废料总长度.单一原材料的长度为3000mm,需要完成一项有53种

ln

不同长度零件的下料任务.具体数据见表一，其中为需求零件的长度，为需求零件

ii

的数量.此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm.据估计，该企业每天最大

i

下料能力是100块，要求在4天内完成的零件标号()为:5,7,9,12,15,18,20,25,

i

28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号()为:4,11,24,29,32,38,40,46,50.(提示：

可分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型,或先仅考虑所用材料最少的

模型及增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。(2).

在解决具体问题时,先制定4天的下料方案,再制定6天的下料方案,最后制定53种零件的下

料方案.这一提示对第2题也部分适用.)

表一需求材料的数据单位：mm

i12345678910

l17431680153214771