专题4.6 圆中最值问题必考四大类型（必考点分类集训）（浙教版）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）.docx

专题4.6圆中最值问题必考四大类型

【浙教版】

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【类型1经过定点的弦】 1

【类型2定点定长型隐圆】 7

【类型3遇90度圆周角构辅助圆】 16

【类型4遇定弦定角构外接圆】 24

【类型1经过定点的弦】

【问题提出】

M是半径为r的⊙O内一定点，OM=d（0dr），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围.

【模型建立】

（1）经过点M的直径AB是最长的弦；

（2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短.

【结论】

2r2

【必刷题型】

1．（2024秋?邳州市校级月考）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，CD⊥AB垂足为D，点E是⊙O上动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝3，CD＝6，则DF的最大值为7.5．

【分析】延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，根据垂径定理得到CD＝DG，推出DF=12GE，得到当GE取最大值时，DF

【解答】解：延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，

∵CD⊥AB，即CG⊥AB，且AB是⊙O的直径，

∴CD＝DG，

∵点F为CE的中点，

∴DF=1

∴当GE取最大值时，DF也取得最大值，

设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣3，

在Rt△OCD中，OC2＝OD2+CD2，

∴r2＝（r﹣3）2+62，

解得：r＝7.5，

∴GE的最大值为15，

∴DF的最大值为7.5，

故答案为：7.5．

2．（2023秋?江阳区校级月考）如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD＝3，且弦CD在圆上滑动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则PM的最大值是4．

【分析】延长CP交圆于K，连接KD，由垂径定理推出PC＝PK，由三角形中位线定理推出PM=12KD，当KD最大时，PM最大，当KD是圆直径时，KD最大，于是得到PM的最大值是

【解答】解：延长CP交圆于K，连接KD，

∵直径AB⊥CK，

∴PC＝PK，

∵M是CD中点，

∴PM是△CKD的中位线，

∴PM=12

∴当KD最大时，PM最大，当KD是圆直径时，KD最大，

∵⊙O的直径AB＝8，

∴PM的最大值是12

故答案为：4．

3．（2024秋?建邺区校级月考）如图，已知⊙O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为43．

【分析】过D作DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE交AB于点P，连接OE，作OF⊥CE于点F，点D与E关于AB对称，此时PC+PD最小．

【解答】解：过D作DE⊥AB交⊙O于点E，连接CE交AB于点P，连接OE，作OF⊥CE于点F，此时PC+PD最小，

∴弧BD＝弧BE，

∴∠BOE＝∠BOD＝36°，

∵∠AOC＝96°，

∴∠BOC＝84°，

∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，

∵OC＝OE＝4，

∴∠OCE＝∠OEC＝30°，

∵OF⊥CE，

∴CF＝EF，OF=12OC=2，

∴CE＝2CF＝43，

即PC+PD最小值为43．

故答案为：43．

4．（2024秋?锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为5．

【分析】作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB＝40°，然后求出∠BON＝20°，再根据对称性可得∠BON′＝∠BON＝20°，然后求出∠MON′＝60°，从而判断出△MON′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出MN″，即为PM+PN的最小值，从而求得△PMN周长的最小值．

【解答】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，

则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，

∵∠MAB＝20°，

∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，

∵N是弧MB的中点，

∴∠BON=12∠MOB

由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，

∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，

∴△MON′是等边三角形，

∴MN′＝OM＝OB=12AB

∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，

故答案为：5．

5．（2023秋?游仙区期末）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB=82，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为43

【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作