5.2 导数的运算【同步教案】（原卷版） (1).docxVIP

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5.2导数的运算

5.2导数的运算

讲

讲

教材知识梳理

教材知识梳理

1.几个常用函数的导数

原函数

导函数

f(x)＝c

f′(x)＝0

f(x)＝x

f′(x)＝1

f(x)＝x2

f′(x)＝2x

f(x)＝x3

f′(x)＝3x2

f(x)＝eq\f(1,x)

f′(x)＝－eq\f(1,x2)

f(x)＝eq\r(x)

f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))

2.基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos?x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin?x

f(x)＝ax(a0，且a≠1)

f′(x)＝axln?a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a0，且a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

3.函数的和、差、积、商的导数

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

（2）[cf(x)]′＝cf′(x)．（C为常数）

(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2).

4.复合函数的导数

定义：由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数

复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对?u的导数与u对x的导数的乘积．

方法突破

方法突破

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．

(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．

求复合函数的导数的步骤

注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．例

注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．

例

例题研究

例题研究

基本初等函数的导数公式

题型探究

题型探究

例题1

若f(x)＝2x＋sinx－cosx的导函数为f′(x)，则f′(0)等于()

A．2 B．ln2＋1

C．ln2－1 D．ln2＋2

例题2

设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是

A． B．

C． D．

跟踪训练

跟踪训练

训练1

若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（）

A． B． C． D．

训练2

下列求导运算正确的是

A． B．

C． D．

导数的运算

题型探究

题型探究

例题1

已知，则等于

A．-4 B．-2 C．1 D．2

例题2

已知函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）=x3+f（1）x2-2，则f（1）的值为（）

A． B． C． D．0

跟踪训练

跟踪训练

训练1

已知函数的导函数，且满足，则（）

A．5 B．6 C．7 D．-12

训练2

已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则

A． B．

C． D．

测

测

综合式测试

综合式测试

一、单选题

1．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（）

A． B． C． D．

2．已知函数，则的值为（）

A． B． C． D．

3．函数的导数是（）

A． B．

C． D．

4．函数的导数是（）

A． B．

C． D．

5．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是（）．

A． B．

C． D．

6．设，，，…，，，则（）

A． B． C． D．

7．已知函数，则的值为（）

A． B．

C． D．

8．函数在点处的切线方程为（）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．函数的导函数是，则______________.

10．设