5.1 导数的概念【同步教案】（原卷版） (1).docxVIP

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5.1导数的概念

5.1导数的概念

讲

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教材知识梳理

教材知识梳理

1.函数的平均变化率

函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

2.瞬时速度

一般地，如果当Δt无线趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t-t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率

3.导数的定义

设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)=eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)

方法突破

方法突破

求平均变化率的主要步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.

(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1).

求切点坐标的一般步骤

(1)设出切点坐标．

(2)利用导数或斜率公式求出斜率．

(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．

例

例

例题研究

例题研究

导数概念及辨析

题型探究

题型探究

例题1

①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；

②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；

③若不存在，则曲线在点处就没有切线；

④若曲线在点处有切线，则必存在.

则以上论断正确的个数是（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例题2

已知函数，则

A．0 B．

C．200 D．

跟踪训练

跟踪训练

训练1

已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为()

A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x

C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x

训练2

已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数

A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数

C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

题型探究

题型探究

例题1

已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

例题2

曲线在点处的切线方程是（）

A． B． C． D．

跟踪训练

跟踪训练

训练1

曲线在点处的切线方程为

A． B． C． D．

训练2

已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（）

A． B． C． D．

测

测

综合式测试

综合式测试

一、单选题

1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（）

A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2

C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2

2．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：

①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；

②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；

③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；

④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（）

A． B．

C． D．

4．已知在处可导,

A． B． C． D．

5．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝()

A．0 B．

C． D．2

6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（）

A． B． C． D．

7．自变量从变到时，函数值