专题05 勾股定理中的最值问题（解析版）.pdfVIP

专题五勾股定理中的最值问题

考点一将军饮马问题

【方法点拨】运用“两定一动”的模型求最值。

1．如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为

30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村．

（1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法）

（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？

【思路点拨】（1）先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽

水站的位置．利用勾股定理求出A′B即为铺设管道的最短距离．

（2）运用费用＝米数×每米的钱数．

【解析】解：（1）如图所示，抽水站修在点E处才能使所需的管道最短．

先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．

作BC垂直于河，A′C平行河．

∵两村的水平距离为30米，

∴A′C＝30米．

∵A村距河边10米，B村距河边30米，

∴BC＝10+30＝40（米）．

∴A′B=302+402=50（米）．

（2）最低费用为：50×500＝25000（元）．

【点睛】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，解题的关键是利用了轴对称的性质求解．

2．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30

千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD

上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

【思路点拨】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l

于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB＝A′B．根据勾股定理即可求解．

【解析】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，

则可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，

∴BK＝BD+DK＝40千米，

∴AM+BM＝A′B=302+402=50千米，

总费用为50×3＝150万元．

【点睛】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．

3．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经

测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．

（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；

（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想2+4+(12―)2+9的最小

值为13．

【思路点拨】（1）∵ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；

（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于

F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；

（3）根据AE+BE=(8―)2+25+2+1=AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．

【解析】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=(8―)2+25，BE=2+1，

∴AE+BE=(8―)2+25+2+1；

（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．

过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．∴AF＝AC+CF＝6．

在Rt△ABF中，BA=2+2=62+82=10，

∴此时最少需要管道10km．

（3）根据以上推理，可作出下图：

设ED＝x．AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E