专题05 构造新图或用公式求函数值（解析版）.pdfVIP

专题05构造新图或用公式求函数值

1．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按

如图所示的方法折叠（如图①②③）：

重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察之

后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____．

【答案】2+1

EC=x∠BEC=67.5°DE=x

【分析】设，根据折叠的性质求出，2，根据正切的概念计算即可．

【详解】设EC=x，

由折叠的性质可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90°，∠BDC=45°，∠EBC=22.5°，

∴DE=2EF=2x，∠BEC=67.5°，

∴CD=2x+x，

由正方形的性质可知，BC=CD=2x+x，

BC

∴tan67.5°=tan∠BEC==2+1

CE

故答案为2+1

【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种

对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键

2．阅读下面材料：

小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在RtVABC中，ÐC=90o，ÐB=22.5o，则

o

______

tan22.5=

(1)oo

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现22.5不是特殊角，但它是特殊角45

.CB

的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在边上截取

CD=CA，连接AD(如图2)，通过构造有特殊角45o的直角三角形，经过推理和计算使问题得到

解决．

o

______

请回答：tan22.5=．

参考小天思考问题的方法，解决问题：

3VABCAB=ACoVABCo

如图，在等腰中，，ÐA=30，请借助，构造出15的角，并求出该角的

正切值．

【答案】2-1,2-3.

2CD=CA=aVACDo

【分析】如图，设，为等腰直角三角形，则AD=2a，易得ÐDAB=ÐB=22.5，

所以DB=DA=2a，再在RtVABC中，利用正切定义可计算出tanB=2-1，即tan22.5o=2-1；

3BADAB=AD=ACÐD=ÐACD

如图，延长到，使AD=AB，则，则，利用三角形外角性质易

oCH^ABHCH=x30AC=2x

得ÐD=15，作于，设