2023-2024学年天津市北京师大静海附属学校高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年天津市北京师大静海附属学校高三（上）期中数学试卷

一、单选题

1．集合，，0，1，，，，，0，，则

A．，0，1， B．， C．，1， D．，0，

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知函数．若，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

4．已知函数．若曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则实数

A． B．2 C． D．1

5．在中，，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为

A． B． C．36 D．12

6．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，，，，，．若分数在区间，的频数为5，则大于等于60分的人数为

A．15 B．20 C．35 D．45

7．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为

A．108石 B．169石 C．237石 D．338石

8．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：

①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；

②点为图象的一个对称中心；

③；

④在区间上单调递增．

其中正确的结论为

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

9．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，，，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题

10．是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为．

11．在的展开式中，项的系数为．（用数字作答）．

12．已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，则．

13．圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为．

14．已知函数若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是．

15．已知函数的图象过点，则的最小值为．

三、证明题

16．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

四、解答题

17．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：．

19．已知数列的前项和为，且，，数列为等比数列，且，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

20．已知函数，其中，．

（Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线与直线平行，求与满足的关系；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）当，时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围．

2023-2024学年天津市北京师大静海附属学校高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1．集合，，0，1，，，，，0，，则

A．，0，1， B．， C．，1， D．，0，

解：集合，，0，1，，，，，0，，

所以，0，，

所以，0，1，．

故选：．

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

解：“”“”，反之不成立，例如取．

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

3．已知函数．若，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

解：根据题意，函数，其导数为，则在上为增函数；

又由，

又由在上为增函数，则；

故选：．

4．已知函数．若曲线在点，（1）处的切线与直线平行，则实数

A． B．2 C． D．1

解：由题意得，

（1），又因为切线与直线平行，

，．

故选：．

5．在中，，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为

A． B． C．36 D．12

解：，，，以边所在直线为旋转轴将旋转一周，

形成图形为：由为半径，为高的圆锥，

所围成的几何体的体积为：．

故选：．

6．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，，，，，，，．若分数在区间，的频数为5，则大于等于60分的人数为

A．15 B．20 C．35 D．45

解：分数在区间，的频数为5，

总人数为，

大于等于60分的人数为，

故选：．

7．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石