2025年高考数学重点题型归纳精讲精练6.1等差数列6大题型（精练）（解析版）.docx

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6.1等差数列6大题型

【题型解读】

【题型一等差数列基本量的运算】

1.（2024·四川遂宁市高三期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．

【答案】2.5

【解析】设等差数列的公差为，，，

，，解得：，

则，故答案为：．

2.（2024·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】已知，所以，当时，，

所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件故选：A

3.【2024年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3

【答案】2

【解析】由2S3=3S2

即2(a1+2

故答案为：2.

4.（2024·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（???????）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【解析】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，

则.

故选：C.

5.（2024·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________

【答案】

【解析】为等差数列，设首项为，公差为，且成等差数列，

，化简可得，

又成等比数列，

，

，

，解得：或，

，当时，，舍去

当时，，

.

故答案为：.

【题型二等差数列的性质及应用】

1.（2024·黑龙江哈尔滨市模拟）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（???????）

A．10 B．15 C．20 D．40

【答案】C

【解析】数列是等差数列，为数列的前项和，

根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，

记，设，

，，

，

，

计算可得到结果为：20.故选：C.

2.（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由等差数列的前项和性质，

得：，，也成等差数列，

即，

又因，，则解得，

因此.

故选：C.

3.（2024·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】根据等差数列的性质可得，

所以可设，.

则，，所以.故选:D.

4.（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（???????）

A．－10 B．－20 C．－120 D．－110

【答案】C

【解析】，

，则.故选：C

5．（2024·山西临汾市一模）已知等差数列的前项和为，，则（???????）

A． B．13 C．-13 D．-18

【答案】D

【解析】由，可设

∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，

即a，6a，成等差数列，∴，即∴故选:D.

6.（2024·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(???????)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设的公差为d，∵∴，

即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒

【题型三等差数列的判定与证明】

1.【2024年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知

(1)证明：an

(2)若a4,a

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78．

【解析】(1)解：因为2Snn+n=2

当n≥2时，2Sn-1

①-②得，2S

即2a

即2n-1an-2n-1an-1

所以an是以1

(2)解：由（1）可得a4=a1+3

又a4，a7，a9

即a1+62

所以an=n-13，所以

所以，当n=12或n=13时Sn

2．（2024·湖北荆州·高三期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得,且，,

取,由得,由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

3.（2024·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；

【答案】证明见解析；

【解析】证明：由题知，即有，

所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，

当时，

，当时，也符合题意，

所以，又，所以：；

4.（2024·河北路南·唐山一中月考）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.

【答案】证明