2025年高考数学重点题型归纳精讲精练7.6空间几何体中垂直的判定与性质（精讲）（解析版）.docx

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

7.6空间几何体中垂直的判定和性质

【题型解读】

【知识必备】

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))

?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))

?a∥b

2．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))

?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))

?l⊥α

知识拓展

1．三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

2．三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

【题型精讲】

【题型一线面垂直的判定】

技巧方法证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．

例1（2024·陕西安康·高三期末）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面

【答案】证明见详解

【解析】平面平面，平面平面，，，

平面，又平面，，

又，，，

，，

，，，

又，平面；

例2（2024·江苏南通市高三模拟）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】连接．

∵四边形为菱形，，∴是等边三角形．

∵为的中点，∴，．

又∵，∴，，

∴，∴，

∵，∴，．

又，?平面，?平面，

∴平面．

【跟踪精练】

1.（2024·陕西高三模拟）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，

连接AF，

由题意知为等腰三角形，

而为的中点，所以．

又因为平面平面，且，平面平面，平面，

所以平面．

而平面，所以．

而，平面，所以平面．

连接，则，，

而，，所以且，

所以是平行四边形，

因此，故平面．

2.（2024·海原县高三模拟）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面

【答案】证明见解析

【解析】联结AC，由知，，即，

由在直四棱柱中，平面ABCD，则

又，则平面ACM，又平面ACM，

则，又，则，由条件知，

且，故平面；

3.（2024·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】因为底面为矩形，所以，

又因为平面平面平面，平面平面，

所以平面，因为平面，所以，

由，所以，所以，

又因为平面，所以平面．

【题型二面面垂直的判定】

技巧方法判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．

例3（2024·全国高三模拟）如图，在三棱柱中，，，，，证明：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，连接，在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，所以，

所以，同理，又，平面,

所以平面,又平面，

所以平面平面.

例4（2024·河北衡水中学高三模拟）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；

【答案】证明见解析

【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.

∵是棱的中点，为正三角形，∴.

∵，∴平面.

∵平面∴.

又∵，，，∴，，

∴，∴，∴，

∴，∴，∴.

又∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

【跟踪精练】

1.（2