2025年高考数学重点题型归纳精讲精练7.8空间几何体中求距离（精练）（解析版） .docx

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

7.8空间几何体中求距离

【题型解读】

【题型一点线距】

1.（2024·陕西安康·高三期末）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，，

取AC的中点O，则，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

所以在上的投影的长度为，

故点C到直线的距离为：.

故选：D

2.（2024·江苏南通市高三模拟）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面ABC；

(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．

【答案】(1)见解析(2)

【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，

由，，所以所以平面ABC；

平面,所以平面平面ABC；

(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

所以

设可得，

设平面的法向量为则

即取

所以因为为平面ABC的一个法向量，

设平面与平面ABC夹角为，

解得，所以

所以点M到直线距离

3.（2024·陕西高三模拟）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为

【答案】

【解析】如图建立空间直角坐标系，则，

设，则，

∴动点P到直线的距离为

，当时取等号，

即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.

故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.故答案为B

【题型二点面距】

1.（2024·全国高三模拟）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，

设平面的法向量，则，令，解得，

故点到平面的距离为.

故选：A.

2.（2024·河北衡水中学高三模拟）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为___．

【答案】

【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，

所以在图2中，，所以，即

如图建立空间直角坐标系，易知

则

则

设为平面ABC的法向量，

则，取，得

所以点到平面的距离

故答案为：

3.（2024·安徽·合肥市第六中学高一期中））将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取中点为,四边形是边长为2的正方形，，

则，，

由题知，平面平面，且交线为，.且平面，

则平面，又平面，所以，

在中，，

是等边三角形，则，

则在中，，

设点到平面的距离为，

则，即，即：，解得：，

即到平面的距离为．故选：D．

4.（2024·全国高三模拟）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．

(1)求证：平面PCD；

(2)若，，求点D到平面EFP的距离．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，．

在中，点，分别为，的中点，

∴且．

在矩形中，点为的中点，

∴且，∴且．

∴.四边形是平行四边形，

∴．

又∵平面，平面，

∴平面．

(2)解：∵四边形是矩形，

∴．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

∵，，，平面.

∴平面，即就是点到平面的距离．

∵，平面，平面，所以平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离．

又∵，

∴．

同理可证平面，即，

且，，平面，

∴平面.

∴，即．

∴，???????

∴点到平面的距离为．

【题型三线线距】

1.（2024·江西高三模拟）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系

则

设直线与的公垂线的方向向量为则

不妨令又

则异面直线与之间的距离故选：D

2.（2024·重庆八中高三阶段练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．

【答案】

【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,

∴,,

设是，的公垂线方向上的单位向量，

则，即①，

，即②，

易知③，

联立解得，，或，，；

不妨取，

又∵,

则异面直线与的距离，

故答案为：.

3．（20