2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.3直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）（解析版）.docx

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8.3直线与圆、圆与圆的位置关系

【题型解读】

【知识必备】

1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离

相切

相交

图形

量化

方程观点

Δ0

Δ＝0

Δ0

几何观点

dr

d＝r

dr

2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)

图形

量的关系

外离

dr1＋r2

外切

d＝r1＋r2

相交

|r1－r2|dr1＋r2

内切

d＝|r1－r2|

内含

d|r1－r2|

3.直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).

(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xM＋xN?2－4xMxN).

常用结论

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．

(2)两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．

【题型精讲】

【题型一直线与圆位置关系判断】

必备技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

例1（2024·全国·高三专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()

A．相交、相切或相离

B．相交或相切

C．相交

D．相切

【答案】C

【解析】方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，

该直线恒过定点(1,2)．

因为12＋22－2×1－80，

所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，

所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．

方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤23，所以直线与圆相交．

【跟踪精练】

1.（2024·青岛高三月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（）

A．相交 B．相切

C．相离 D．无法确定

【答案】A

【解析】由圆，可得圆心，半径，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，

故选：A.

2.(多选)(2024·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为()

A．l与C可能相离

B．l不可能将C的周长平分

C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq\f(3\r(2),2)

D．l被C截得的最短弦长为4

【答案】BD

【解析】对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；

对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；

对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(\r(2),2)，

所以直线l被C截得的弦长为

2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq\r(2)，C选项错误；

对于D选项，圆心C到直线l的距离为

d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，

所以直线l被C截得的弦长为2eq\r(5－d2)≥4，D选项正确．

【题型二弦长和面积问题】

必备技巧弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．

(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).

例2（2024·青岛高三模拟）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（???????）

A． B． C． D．

【答案】B