2025年高考数学重点题型归纳精讲精练9.7事件的相互独立性和条件概率（精讲）（解析版）.docx

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9.7事件的相互独立性和条件概率

【题型解读】

【知识储备】

1．相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

2．条件概率

(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．

(2)两个公式

①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?)；

②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．

3．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．

4.贝叶斯公式

（1）一般地，当且时，有

（2）定理若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意概率非零的事件，都有，

且

【题型精讲】

【题型一相互独立事件的概率】

例1（2024·华师大二附中高三练习）某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，

所以连续射击3次，至少命中两次的概率，

故选：A.

例2（多选题）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（????）

A．三人选择社团一样的概率为

B．三人选择社团各不相同的概率为

C．至少有两人选择篮球社的概率为

D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为

【答案】ACD

【解析】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，

三人选择社团一样的概率为，A正确；

对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，

最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B不正确；

对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确；

对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，，小王选择羽毛球社的事件为B，

则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，

所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.

故选：ACD

例3（2024·浙江省桐庐中学高三阶段练习）甲?乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.

(1)求的概率；

(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.

【解析】（1），则甲队有两人答对，一人答错，

故.

（2）设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.

，

，

，，

，

∴

.

【题型精练】

1.（2024·河南高三月考）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】事件甲发生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙