《向量的数量积》案例一教学设计 (2).docVIP

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《向量的数量积》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

1.如图,一个物体在力的作用下产生了位移.

问题:(1)其中力、位移分别是矢量还是标量?

(2)所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?

2.回顾向量的夹角的有关知识.

教师提出物理中物体做功的相关问题，鼓励学生自主探究．学生交流，回答.

用具体实例启发学生思考，激发学生学习的兴趣，为提出向量数量积的概念做好准备.

概念形成

1.向量的数量积.定义:已知两个非零向量和,它们的夹角是,我们把数量叫作向量和的数量积,记作,即.

规定:零向量与任一向量的数量积为0.数量积亦称为“内积”或“点积”.

2.向量数量积的性质.设是非零向量,它们的夹角是,则

(1).

(2)当与同向时,;当与反向时,;特别地,或.

(3).

(4).

3.投影向量.

(1)设是两个非零向量,如图表示向量表示向量,过点作所在直线的垂线,垂足为点.我们将上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影,向量称为向量在向量上的投影向量.

可以看到,通过投影,由向量得到了与向量共线和垂直的两个向量和,三个向量和构成了一个直角三角形.

(2)投影向量与向量的数量积之间的关系.设向量的夹角为,由上面的示意图可知：当为锐角时,;

当为钝角时,

;可以验证,当,·均成立.综上,对于向量,向量在向量上的投影向量为.因为,

所以.

4.平面向量数量积的运算律.

设向量和实数,向量的数量积满足下列运算律：

(1);

(2);

(3)

运算律(3)的证明：如图,任取一点,作,则.

设于于,则向量,在向量上的投影向量分别为和.当点按从左到右的顺序排列时,有

=.

即.

对的其他排列顺序,上式也成立.

学生结合物理中的“矢量和矢量相乘得到标量”给出数学中向量的数量积的定义.

教师点拨与补充,并进行强调.

教师给出向量数量积的各项性质，让学生逐一进行验证.

教师给出投影向量的概念，并让学生画图说明.

学生完成作图，理解投影向量的概念.

教师提问：观察投影向量对应的示意图你能发现什么？里面有我们熟悉的图形吗？

学生会发现里面有由向量构成的直角教师继续提问：你能说清投影向量与向量的数量积之间有什么关系吗？

学生小组讨论，试着进行说明.

全班讨论后，教师给出结论：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.

教师给出这三个运算律让学生识记，并提问：（1）如何证明这三条运算律？（2）向量的数量积满足结合律吗？如果不满足，请给出说明.

学生利用向量数量积的定义证明运算律（1）和（2），利用投影向量验证运算律（3）.

培养学生的归纳能力和数学抽象能力.

通过让学生对向量数量积的各个性质进行推理验证，使学生能从更深的层次理解这些公式，而不是只知道如何使用公式，即“知其然，更要知其所以然.

让学生自己作出投影向量的示意图，锻炼学生的作图能力，同时也提升了直观想象核心素养.

利用投影向量的概念来说明其与向量的数量积之间的关系是本课教学的一个难点.让学生完成证明过程，可以使其对投影向量的理解更加深刻，同时提升了逻辑推理核心素养.

通过问题（1）强化学生对向量数量积的运算律的理解.通过问题（2）让学生对向量数量积的运算律和实数运算的运算律进行区分，避免产生混淆.同时提升学生的直观想象和逻辑推理核心素养.

概念深化

1.向量的数量积的概念.

(1)“?”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”.

(2)数量积的结果为数量,不是向量.

(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角或零度角时,数量积为正;当是钝角或平角时,数量积为负;当是直角时,数量积等于零.

(4)零向量与任一向量的数量积为0.

2.向量数量积的性质.

(1)应用平面向量的数量积可以求向量的模.利用公式,得,即求模先求平方.

(2)应用平面向量的数量积可以求两个向量的夹角,利用公式,求出夹角的余弦值,从而求得夹角.

(3)是非零向量,?,这是非常重要的性质,对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效,应熟练掌握.

(4)时,不能得到一定或.

3.投影的概念.

(1)投影是一个变换,不是数值.

(2)向量和的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量的数量积.

4.向量数量积的运算律.

(1)①结合律不成立:;

②由不能得到.

(2)类比多项式的乘法公式,有向量的如下运算性质.

(1);

(2);

(3);

(4)

教师给出理解向量的数量积概念需要注意的地方，逐条分析说明.

教师总结向量数量积的性质的应用