专题4.5 圆的计算与证明必考四大类型（必考点分类集训）（浙教版）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）.docx

专题4.5圆的计算与证明必考四大类型

【浙教版】

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【类型1构造垂径图，利用勾股定理求解】 1

【类型2垂径定理与共边双勾股】 10

【类型3弧的中点与垂径定理】 16

【类型4圆周角定理与垂径定理综合】 26

【类型1构造垂径图，利用勾股定理求解】

1．（2024秋?上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm．

（1）求AC的长；

（2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径．

【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求解即可；

（2）根据勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E，

由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点，

∴AE=12AB=8cm，

∴AC＝AE﹣CE＝8﹣3＝5cm；

（2）连接OA，OC，

在Rt△AOE中，AE＝8cm，OA＝10cm，

∴OE=O

在Rt△OCE中，CE＝3cm，OE＝6cm，

∴OC=O

2．（2024秋?沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．

（1）若∠A＝35°，求DE的度数；

（2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长．

【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；

（2）作CH⊥BD，如图，根据垂径定理得到BH＝DH，再利用勾股定理计算出AB＝10，接着利用面积法计算出CH=245，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到

【解答】解：（1）连接CD，

∵∠A＝35°，

∴∠B＝55°，

∵CB＝CD，

∴∠B＝∠CDB＝55°，

∴∠BCD＝70°，

∴∠DCE＝20°，

∴DE的度数为20°；

（2）作CH⊥BD，则BH＝DH，

在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，

∴AB=B

∵12

∴CH=6×8

∴在Rt△BCH中，BH=B

∴BD=2BH=36

3．（2023?长安区二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．

（1）OM⊥CD，OM＝6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；

（2）过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．

【分析】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；

（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．

【解答】（1）解：如图，连接OD，

∵OM⊥CD，OM过圆心，

∴DM＝CM，∠OMD＝90°，

由勾股定理得，DM=O

∴CD＝2DM＝16；

（2）证明：如图，连接AC，

∵AN⊥BD，

∴∠DNF＝90°，

∴∠DFN+∠D＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠CEA＝90°，

∴∠C+∠EAC＝90°，

∵∠EAC＝∠D，∠DFN＝∠AFC，

∴∠C＝∠AFC，

∴AF＝AC，

∵AB⊥CD，

∴CE＝EF．

4．（2023?庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．

（1）求⊙O的半径长；

（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．

【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；

（2）先利用勾股定理计算出BC＝45，再根据垂径定理得到BF＝CF＝25，然后利用勾股定理可计算出OF的长．

【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，

∵AB⊥CD，

∴∠OED＝90°，DE＝CE=12CD

在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，

∴（r﹣2）2+42＝r2，

解得r＝5，

即⊙O的半径长为5；

（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，

∴BC=42+

∵OF⊥BC，

∴BF＝CF=12BC＝25，∠

在Rt△OBF中，OF=O

即OF的长为5．

5．（2024秋?阿荣旗期末）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度．

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；

（2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理即可求出BF．

【解答】解：连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，

∵OA⊥BD，

∴BE＝ED=12

在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，

即x2＝（x﹣2）2+42，

解得，x＝5，

即⊙O的半径为5；

在Rt△CEB中，BC=CE2

∵OF⊥BC，

∴BF=12BC＝2

6．（2023秋?鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．

（1）求证：D是AC的中点；

（2）若AB＝6，AC=213，求⊙O

【分析】（