专题4.6 圆中最值问题必考四大类型（必考点分类集训）（浙教版）（原卷版）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）.docx

专题4.6圆中最值问题必考四大类型

【浙教版】

TOC\o1-3\h\u

【类型1经过定点的弦】 1

【类型2定点定长型隐圆】 3

【类型3遇90度圆周角构辅助圆】 5

【类型4遇定弦定角构外接圆】 7

【类型1经过定点的弦】

【问题提出】

M是半径为r的⊙O内一定点，OM=d（0dr），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围.

【模型建立】

（1）经过点M的直径AB是最长的弦；

（2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短.

【结论】

2r2

【必刷题型】

1．（2024秋?邳州市校级月考）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，CD⊥AB垂足为D，点E是⊙O上动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝3，CD＝6，则DF的最大值为．

2．（2023秋?江阳区校级月考）如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD＝3，且弦CD在圆上滑动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则PM的最大值是．

3．（2024秋?建邺区校级月考）如图，已知⊙O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为．

4．（2024秋?锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．

5．（2023秋?游仙区期末）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB=82，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为

6．（2023秋?安次区校级期中）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．M为CD的中点，点C从点A开始运动，到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB距离的最大值是，点M到AB距离的最小值是．

【类型2定点定长型隐圆】

【模型总结】

条件：M是半径为r的⊙O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与⊙O交于M1，M2两点，

结论：PM的最小值=PM1=d?r，PM的最大值=PM2=

【必刷题型】

1．（2024?岳阳县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．

2．（2024秋?江阴市校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，则BC＝；若以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是．

3．（2023?江阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为4，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是．

4．（2024?乌鲁木齐二模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是．

5．（2024春?石景山区校级月考）如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB＝90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为．

6．（2024?江安县校级模拟）点P在△PAB平面内一动点，∠APB＝90°，AB＝6，点M是PB上一点，且BM＝PA，连接AM，则AM的最小值为．

7．（2024?镇海区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为．

【类型3遇90度圆周角构辅助圆】

【模型总结】

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．

注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．

应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【必刷题型】

1．（2024秋?兴化市月考）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是．

2．（2024秋?亭湖区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值＝．

3．（2024?济宁二模）如