4.3 等比数列【同步教案】（原卷版）.docxVIP

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4.3等比数列

4.3等比数列

讲

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教材知识梳理

教材知识梳理

1.等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项

若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an-a1qn-1

2.等比数列的常用性质

设数列{an}为等比数列，则：

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．

(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．

(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq\f(1,q)，q2.

(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq\f(p,q).

3.等比数列的前n项和公式

已知量

首项、公比与项数

首项、公比与末项

求和公式

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

方法突破

方法突破

等比数列前n项和运算的技巧

(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．

(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．

(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

错位相减法的适用范围及注意事项

(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．

(2)注意事项：

①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．

②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．

例

例

例题研究

例题研究

求等比数列前n项和

题型探究

题型探究

例题1

等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（）

A． B．

C． D．

例题2

已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（）

A． B． C． D．

跟踪训练

跟踪训练

训练1

已知数列、满足，，，则数列的前项和为．

A． B． C． D．

训练2

在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（）．

A． B． C． D．

等比数列的应用

题型探究

题型探究

例题1

在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58

A．34 B．35 C．36 D．37

例题2

中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（）

A． B． C． D．

跟踪训练

跟踪训练

训练1

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路