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江西省九江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则（????）

A． B．

C． D．

2．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（????）

A．－3 B．－4

C．3 D．4

3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（????）

A． B． C． D．

4．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于（）

A．60° B．45° C．30° D．90°

5．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（）

A． B． C． D．

6．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：

①若，，则??②若，，则

③若，，则???④若，，则，其中正确命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．椭圆：的左、右焦点分别为，，若与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图像交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

8．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是（????）

A．点到平面的距离为定值

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与直线所成的角为定值

D．直线与平面所成线面角为定值

10．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（）

A．存在四条直线，使

B．存在直线，使弦的中点为

C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为

D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是

11．给出下列命题正确的是（）．

A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．点到直线的的最大距离为

D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面

12．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为C的左?右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（????）

A．椭圆C的“蒙日圆”的面积为

B．对直线l上任意点P，都有

C．椭圆C的标准方程为

D．椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6

三、填空题

13．若，则．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则的最大值为.

15．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则

16．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是

四、解答题

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

(1)求的值；

(2)若，，求的面积．

18．已知圆的圆心在直线上，且经过点和．

(1)求圆的标准方程；

(2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．

19．如图，在四棱锥中，面，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.

21．已知是等边三角形，点满足，，将△AMN沿MN折起到的位置，使．

(1)求证：平面MBCN；

(2)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

22．已知为圆：上任一点，，，，且满足.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线与轨迹相交于,两点，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

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参考答案：

1．B

2．A

3．C

4．A

5．B

6．B

7．B

8．D

9．ABC

10．ACD

11．CD

12．AC

13．

15．