2025年高考数学重点题型归纳精讲精练6.2等比数列5大题型（精讲）（解析版）.docx

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6.2等比数列5大题型

【题型解读】

【知识储备】

1．等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．

(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.

特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq\o\al(2,p).

(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,q1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1，))则等比数列{an}递增．

若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,0q1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10，,q1，))则等比数列{an}递减．

【题型精讲】

【题型一等比数列基本量的运算】

必备技巧等比数列运算的技巧

(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．

(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．

(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

例1（2024·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（???????）

A．2B．2或C．D．3

【答案】B

【解析】由题意，

故选：B

例2（2024·河南信阳市高三模拟）已知正项数列满足，的前项和为，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则.故选：A.

【题型精练】

1.（2024·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（???????）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设公比为，则，得，解得（舍去），

∴.

故选：A.

2.（全国2卷）数列中，，，若，则（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.故选：C.

3.（2024·江西·新余四中模拟）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（）

A. B.

C.或1 D.或1

【答案】C

【解析】

【分析】设等比数列的公比为q.利用基本量代换列方程组即可求出q.

【详解】设等比数列的公比为q.

因为，，所以，，即，，所以，解得或.

故选：C.

4.（新全国1山东）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.

（2）由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个.

所以.

【题型二等比数列的性质及应用】

必备技巧等比数列的性质

(1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).

(2)．若{an}，{bn}(项数相同