2025年高考数学重点题型归纳精讲精练9.9超几何分布、二项分布和正态分布（精练）（解析版）.docx

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9.9超几何分布、二项分布和正态分布

【题型解读】

【题型一超几何分布】

1.（2024·华师大二附中高三练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；

(2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；

(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．

【解析】（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人，

从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率.

（2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为人，

所有可能的取值为，

；；；

则的分布列为：

数学期望.

（3）由散点图知：，，；

，，；

，，；

，，；

.

2.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.

(1)求n的值；

(2)若一次抽取4个城市，

①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；

②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

【答案】(1)；

(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；

②.

【分析】

⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；

⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；

②利用条件概率求概率的方法求概率即可.

（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，

其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，

解得（负值舍去）.

（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，

相应的概率分别记为，

，，

，，

.

②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；

若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，

所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.

3.（2024·贵州省思南中学高三月考）为庆祝2024年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；

（2）若从第一?五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为

【解析】(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，

由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：

人，

所以该班成绩良好的人数为27人；

(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，

从这两组随机取两个成绩，

所以，

，

，

故X的分布列为：

X

0

1

2

P

所以.

4．（2024·全国高三课时练习）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2024年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）

年份

2015

2016

2017

2018

2019

2024

2024

新能源汽车销量占比

(1)从2015年至2024年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；

(2)从2015年至2024年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．

【解析】（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，

则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．

（2）由图表得新能源汽车2015-2024年的销量如下表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

2