《向量与夹角、距离》教材分析 (4).docxVIP

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向量与夹角、距离

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

1.重点：空间图形基本要素及其关系的向量表示，用向量方法解决空间图形的位置关系和距离、夹角等度量问题.

2.难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题.

三、教科书编写意图及教学建议

本节核心内容是利用空间向量解决立体几何问题的一般方法：先用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，建立立体图形与空间向量的联系；然后进行空间向量的运算；最后把空间向量的运算结果“翻译”成几何结论.

空间中直线、平面的位置关系主要研究平行、垂直等，也就是“方向”问题，而向量表达了方向，于是利用向量及其运算可以解决方向的问题.空间中度量问题主要研究“距离”和“夹角”问题，距离和角度可以用向量的运算表达，于是利用向量的运算可以解决距离和夹角的问题.向量法为解决立体几何问题提供了一种通法，这也是向量法的优势所在.利用空间向量解决立体几何问题的基础是用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，因此教科书特别关注了直线的方向向量和平面的法向量.由于学生并不习惯于用法向量等解决问题，因此教学中要给予重视.

用空间向量研究距离、夹角问题

1.运用空间向量及其运算研究距离问题

立体几何中的距离包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离等，这些距离都可以归结为两点间的距离，进而归结为向量的模.

教科书首先研究用向量方法求点到直线的距离.在空间中点到直线的距离问题可以转化为平面中的问题.在平面中，利用勾股定理求距离是常用的方法.教科书按照如下思路推导：如图1，给定一条由一个定点A和一个单位向量u确定的直线，P是直线l外一定点，则的长度以及在直线l上的投影的长度是确定的.在中，利用勾股定理，可以求得

接着设置了一个“思考”，引导学生类比点到直线的距离的求法，求两条平行直线之间的距离.解决这问题的关键是，在其中的一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为这两条平行直线之间的距离.

接下来，教科书类比点到直线的距离的求法，利用投影向量得到了点到平面的距离的向量表示，教学时要注意引导学生结合向量投影的意义自己推导，以加深对向量方法的理解.

2.立体几何中的向量方法

教科书在学生经历了用空间向量解决一些具体的立体几何问题的基础上，明确了立体几何中的向量方法—“三步曲”：

（1）建立立体几何图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角问题；

（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.

这是用向量方法解决立体几何问题的程序和步骤，简言之就是：表示、运算、“翻译”，三者缺一不可.

教科书在研究了一些具体例题之后给出“三步曲”是水到渠成的.因为学生在此之前经历过类似的分析问题、解决问题的过程，以往的经验可以自然地迁移至此.教学时可以联系以前利用平面向量研究平面几何问题的方法，以及刚刚学习的利用空间向量表示空间图形几何要素的位置关系、研究距离问题等内容，引导学生自己归纳，得出“三步曲”，提高学生的概括、归纳等能力.

3.运用空间向量及其运算研究角度问题

角度是几何中度量方向差异的一个基本量.立体几何中的直线、平面的角度问题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、以及平面与平面的夹角.其中，直线与直线所成的角具有基础地位，直线与平面所成的角、平面与平面的夹角都可以用直线与直线所成的角来刻画.

在必修“立体几何初步”中，学生已经学习了如何求两条异面直线所成的角，所用的方法是通过平移把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，这是研究的基本思路，但这种转化往往需要一定的技巧，具体计算也比较复杂.从本质上讲，角度是组成角的两条射线的“方向差”，因此只要知道两条直线的方向向量，就能利用向量工具算出两条异面直线所成角的度数，而不需要先平移，再构造三角形进行计算.

教科书首先通过例题解决了一个求两条直线夹角的余弦值的问题，进而利用直线的方向向量，给出异面直线所成角的向量表示；在此基础上，通过把直线与平面所成的角转化为直线的方向向量和平面法向量的夹角，得到直线与平面所成的角的向量表示，接下来，教科书定义了两个平面的夹角，并通过把两个平面的夹角转化为两个平面的法向量的夹角，得到两个平面的夹角向量表示.

对于两个平面的夹角，教学时要注意与二面角进行比较.要提醒学生注意：二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围是；而平面α与平面β的夹角是指平面α与平面