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《两角和与差的正弦》课时同步详解

问题情境导入

导入：固定天线至少要准备多长的钢绳？（单位：m）

课自主学习

自学导引

两角和与差的正弦公式：=_________________.

=_______________.

答案

预习测评

（）

A.

B.

C.

D.

2.化简的结果为（）

A.

B.

C.

D.

3.的值为（）

A.0

B.

C.1

D.2

4.计算:_____.

答案

1.

答案：C

解析：.

2.

答案：D

解析:原式.

3.

答案：A

解析:原式

.

4.

答案：

解析:

.

新知合作探究

探究点两角和与差的正弦公式

知识详解

名称

公式

简记符号

使用条件

两角和

的正弦

两角差

的正弦

特别提示

1.公式的推导，可用替换公式中的得到.

2.两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

（1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

（2）“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”号，两角差时用“-”号；

（3）两角和与两角差的正弦公式只有中间的连接符号不同.

3.和公式中的都是任意的角，若中有一个是的整数倍时，利用诱导公式较为简便.

4.一般情况下，.

典例探究

例1（1）（）

A.

B.

C.

D.

（2）的值为_____.

解析（1）

.

（2）

.

答案（1）C（2）

变式训练1如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于两点,已知的横坐标分别为,则_____.

答案

点拨由三角函数的定义得:,所以.

所以.

例2已知为锐角,为钝角,且,,求的值.

解析利用整体思想,.同时注意角和的取值范围.

答案为钝角,.

,

.

则.

变式训练2为锐角,且.求的值.

答案.

，.

则.

例3数,.

（1）求函数调递增区间;

（2）且,求的最大值和最小值,并指出取得最值时相应的值.

解析利用两角和的正弦公式,把已知函数化成一个角的一个三角函数,方便利用三角函数的性质求解.

答案（1）函数.

令,得.

所以函数的单调递增区间为

（2）因为,所以,所以.

所以当,即时,取得最小值,为;

当,即时,取得最大值,为6.

变式训练3已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为.

（1）求的值;

（2）若,求的值.

答案（1）因为,所以.

因为函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为,

所以,所以.

所以.

（2）由（1）,得,所以.

因为,所以,.

所以.

易错易混解读

例在中，已知求的值.

错解因为,所以.

所以或.

错因分析错解没有注意到是在三角形中求解,没有对角的两个取值是否合理进行分析说明,导致多解.

正解因为,且为三角形内角,

所以以,

若,则,不成立,所以,

所以.

所以.

纠错心得利用同角三角函数关系求值时,一定要考虑角的范围,必要的时候要缩角.

课堂快速检测

1.计算（）

A.1

B.

C.

D.

2.（）

A.0

B.

C.

D.2

3.若,则（）

A.1

B.

C.0

D.

4.下列直线中,是函数图象的对称轴的是（）

A.直线

B.直线

C.直线

D.直线

5.已知,则_____.

答案

1.

答案：A

解析:

.

2.

答案：C

解析:原式

.

3.

答案：C

解析:

.

4.

答案：A

解析:,令,故函数的对称轴方程为,故只有项中说法正确.

5.

答案：

解析:由于,,所以,

,所以.

由于,所以.

要点概括整合

两角和与差的正弦公式

名称

简记符号

公式

使用条件

两角和的正弦

两角差的正弦

记忆口诀：“正余余正，符号相同”.