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高中数学精选资源
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《向量数量积的坐标表示》教学设计
教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习导入
1.平面向量数量积的定义.
2向量的坐标表示.
3向量线性运算的坐标表示.
问题：我们知道，向量的线性运算可以用坐标的形式表示，那么平面向量的数量积可以用坐标表示吗？如果可以，怎么表示？
教师提出问题，学生思考、讨论.
由向量的线性运算可以用坐标表示，让学生思考与之类似的向量数量积是否也可以用坐标来表示，激发学生的学习兴趣，顺利引入新课的学习.
概念形成
已知两个向量.
问题1:若分别是与轴、y轴正方向相同的单位向量,则如何用表示?
提示.
问题2:能否用的坐标表示?怎样表示?提示能.
?
问题3:设,你能表示吗?
提示能.
.
问题4:对于平面内两点,你能用向量方法推导出两点间的距离公式
吗?
问题5:向量的夹角的余弦值能否用坐标表示?提示由于,同理.将两向量夹角公式中的以及用坐标表示即可.
问题6:向量垂直与数量积的关系是什么?能用坐标表示向量垂直吗?
提示,能.
小组讨论，合作探究教师巡回辅导，使所有学生都能掌握.
教师指出：通过这个计算过程，我们可以知道，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
让学生识记这个公式的形式.
学生自己完成，全班订正.
学生尝试自己推导公式，要综合利用目前所学的知识进行推导.
教师让学生回顾向量数量积的公式，结合刚学习的，和的坐标表示，让学生推导出向量夹角的余弦值的坐标表示形式.
学生尝试独立完成，教师进行指导，学生都完成后，师生共同完善.
教师强调这个结论可以直接拿来使用以提高解题的效率.
让学生自己推导出向量数量积的坐标表示，培养学生的数学抽象、直观想象核心素养.
让学生体会数量积的坐标表示的重要性，进而掌握向量的模、向量夹角的余弦值的坐标表示，促进学生的逻辑推理、数学运算核心素养
应用举例
例1已知,
求·.
解：因为,
,
,
所以
.
练习:教材第34页练习第2题.
例2已知点,求:
(1)的值;
(2)的大小;
(3)点到直线的距离.
解依题意,得,
.
(1).
(2)因为
,
所以.
(3)点到直线的距离为
练习:教材第34页习题第5题.
例3已知点,
求证：是锐角三角形.
证明由条件得
,因为,且与不共线,所以的夹角是钝角,从而为锐角.同理也为锐角,所以是锐角三角形.
例4设为实数,已知在直角三角形中,,求的值.
解若,则,于是
解得.
若,则,又,,
于是,
解得.
若,则,
于是,解得.
综上,所求的值为或或.
练习:教材第34页练习第6题.
教师引导学生利用向量数量积的坐标表示解决此题，让学生板演，然后师生共同核对答案.
教师用多媒体展示，学生分组讨论解答，教师巡视引导，由学生讲解，教师总结.
完成例2后教师追问：你还有别的方法来求点A到直线BC的距离吗？试试看.
让学生熟练掌握向量数量积的坐标表示，并能够运用坐标运算解决几何方面的问题
教师出示例4，提问：有的同学默认角C是直角，这种做法对吗？应该如何考虑?
学生表示本题题干未明确指出哪个角是直角，所以需要分类讨论.对于想不到这点的学生，教师要及时进行提示.
学生理解清楚后教师让学生根据这个思路进行求解，全班订正.
例1旨在让学生巩固向量数量积的坐标表示形式，加强对公式的记忆，同时提升学生的数学运算核心素养
通过例2，强化对向量夹角的坐标公式的理解，加强学生的计算能力.同时，通过多种方法求点A到直线BC的距离，训练学生一题多解的能力，提升逻辑推理和数学运算核心素养.
通过例3和例4两道平面几何问题，巩固向量数量积的坐标运算的知识，提高学生利用向量坐标运算的能力，发展学生逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养.
归纳小结
1.向量数量积的坐标表示.
2.向量的模与夹角余弦值的坐标表示.
3.两个向量互相垂直的坐标表示.
教师引导学生回顾本节课知识，进行总结学生相互交流收获和体会，进行反思.
关注学生的自主体验，发挥学生学习的主体性.
布置作业
1.教材第34页练习第3~5题.
2.教材第34页习题9.3（3）第1，6题.
学生独立完成，教师批阅.
通过完成作业，进一步巩固本节课的知识内容.
板书设计
第2课时向量数量积的坐标表示
一、复习导入
1.平面向量数量积的定义
2向量的坐标表示
3向量线性运算的坐标表示问题：我们知道，向量的线性运算可以用坐标的形式表示，那么平面向量的数量积可以用坐标表示吗？如果可以，怎么表示？
二、概念形成
已知两个向量,),
则
三、应用举例
例1
例2
例3
例4
四、归纳小结
1
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