专题18 统计与成对数据的统计分析 （3知识点 2重难点 7方法技巧 3易错易混）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习知识清单.docx

专题18统计与成对数据的统计分析

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1随机抽样

1、抽样调查

（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．

（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．

（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．

2、简单随机抽样

（1）定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．

（2）两种常用的简单随机抽样方法

①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．适用于总体个数较少的情况。

②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．适用于总体个数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．

（3）简单随机抽样的特征（只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样）

①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．

④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．

3、分层抽样

（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．

（2）分层抽样问题类型及解题思路

①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”

【注意】分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）．

知识点2用样本估计总体

1、频率分布直方图

（1）频率、频数、样本容量的计算方法

①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．

②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．

（2）频率分布直方图中数字特征的计算

=1\*GB3①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

=2\*GB3②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．

=3\*GB3③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．

2、百分位数

（1）定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．

（2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据．

②计算．

③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．

（3）四分位数：我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．

3、样本的数字特征

（1）众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．

②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．

③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．

（2）标准差和方差

①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．

②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．

【注意】标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的