专题4.5 圆的计算与证明必考四大类型（必考点分类集训）（浙教版）（原卷版）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）.docx

专题4.5圆的计算与证明必考四大类型

【浙教版】

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【类型1构造垂径图，利用勾股定理求解】 1

【类型2垂径定理与共边双勾股】 3

【类型3弧的中点与垂径定理】 5

【类型4圆周角定理与垂径定理综合】 7

【类型1构造垂径图，利用勾股定理求解】

1．（2024秋?上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm．

（1）求AC的长；

（2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径．

2．（2024秋?沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．

（1）若∠A＝35°，求DE的度数；

（2）若BC＝6，AC＝8，求BD的长．

3．（2023?长安区二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．

（1）OM⊥CD，OM＝6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；

（2）过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．

4．（2023?庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．

（1）求⊙O的半径长；

（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．

5．（2024秋?阿荣旗期末）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度．

6．（2023秋?鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．

（1）求证：D是AC的中点；

（2）若AB＝6，AC=213，求⊙O

7．（2023秋?江汉区校级月考）如图，⊙O的弦AB与CD相交于点E，已知AE＝BE，OE＝3CE，且AB＝8．

（1）如图1，若CD过圆心O，求⊙O的半径；

（2）如图2，若∠DEB＝60°，请直接写出点⊙O的半径．

【类型2垂径定理与共边双勾股】

1．（2023秋?六安期中）如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长．

2．（2023秋?江岸区期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，BD＝CD，DE⊥AB于点E，连接DO．

（1）求证：AC∥DO；

（2）若CD=6，DE=5，求

3．（2023?武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．

（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；

（2）若AB＝4，BC=5，求⊙O

4．（2023春?鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．

（1）求证：BQ＝BC；

（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．

5．（2023?天门一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．

（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；

（2）若AB＝10，BE＝210，求BC的长．

【类型3弧的中点与垂径定理】

1．（2023秋?定海区期中）如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC．

（1）求证CO⊥AB；

（2）若BC=45，AB＝8，求⊙O

2．（2024?武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，连接BC，CD，DA，OC．

（1）证明：OC∥AD；

（2）若AB＝10，CD=25，求AD

3．（2022?和县一模）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是BC的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．

（1）求证：BC＝2DE；

（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．

4．（2023秋?武昌区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点C为弧AF的中点，连接AF交CD于G，连接OG．

（1）求证：AF＝2CE；

（2）若AB＝10，AC=25，直接写出OG

5．（2024?深圳模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G．

（1）求证：GA＝GD；

（2）若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长．

6．（2023秋?拱墅区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．

（1）求证：GE＝BE；

（2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长．

7．（2023秋?拱墅区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E．连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF．

（1）求证：CF＝BD；

（2）若AD＝10，EF＝15，求⊙O的半径及BE的长．

【类型4圆周角定理与垂