专题05 勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训（解析版）.pdfVIP

专题05勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训

【题型目录】

题型一勾股定理应用之航海问题

题型二勾股定理应用之梯子滑落高度问题

题型三勾股定理应用之蚂蚁行程问题

题型四勾股定理之旗杆高度问题

题型五勾股定理之台阶上地毯长度问题

题型六勾股定理之是否受台风影响问题

题型七勾股定理之折叠问题

题型八勾股定理之动点问题

【经典例题一勾股定理之航海问题】

【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80

海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所

在的B处与灯塔P的距离为（）

A．40海里B．402海里C．80海里D．406海里

【答案】B

PPC⊥ABRtVAPC30°PC

【分析】过点作，则在中，通过的直角三角形，计算出的长，再根据等腰直角三

角形，通过勾股定理即可求出PB．

【详解】解：作PC⊥AB于C点，

∵A在P的北偏东30°方向，

∴ÐEPA=30°，

∴ÐAPC=90°-ÐEPA=90°-30°=60°，

又∵B在P的南偏东45°方向上，

∴ÐFPB=45°，

∴ÐBPC=90°-ÐFPB=90°-45°=45°，

∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）

∴在RtVAPC中，ÐPAC=90°-ÐAPC=90°-60°=30°，

11

∴PC=AP=´80=40（海里）

22

∵在Rt△PCB中，∠BPC＝45°，

∴三角形为等腰直角三角形，

∴PC=BC=40，

2222

∴PB=PC+PB=40+40=402（海里）．

故选：B．

【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行

计算．

【变式训练】

2022·AA

【变式1】（秋八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛

正东方向相距（100+1003），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补

给船的速度之比为（）

A．2：2B．2：1C．3：2D．3：1

【答案】A

【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，

根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．

【详解】解：过C作CD⊥AB于D，

设AD=x，

由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，

在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，

∴∠ACD=∠CAD，

∴CD=AD=x，

22

∴AC=CD+AD=2x，

在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，

∴BC=2CD=2x，

22

∴BD=BC-CD=3x，

AB=100+100

∵3，

AD+BD=x+x=100+100

∴33，

∴1+x=1001+

（3）（3），

∴x=100，

即AD=100海里，

AC=100BC=200

∴2海里，海里，

∵时