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1.7无穷小的比较

1.7无穷小的比较1.7无穷小的比较§1.7无穷小的比较2一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限3

年轻

§1.7无穷小的比较

一、无穷小的比较

例如,

极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

不可比.

观察各极限

定义.

若

则称是比高阶的无穷小,

若

若

若

若

或

记作

则称是比低阶的无穷小;

则称是的同阶无穷小;

则称是关于的k阶无穷小;

则称是的等价无穷小,

记作

例1

解

例2

解

例3.证明:当

时,

～

证:

～

常用等价无穷小:

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

例如,

二、等价无穷小替换

定理(等价无穷小替换定理)

证

设对同一变化过程,

,为无穷小,

说明:

无穷小的性质,

(1)和差取大规则:

由等价

可得简化某些极限运算的下述规则.

若=o(),

(2)和差代替规则:

例如,

例

(3)因式代替规则:

界,则

例如,

例4

解

不能滥用等价无穷小代换.

对于代数和中各无穷小不能随意替换.

注意

例5

解

解

错

例6

解

练习1

解

将分子、分母同乘以因子(1-x),则

练习2求下列极限：

提示:

练习3确定常数a、b使

解:

原式

故

于是

而

练习4当

时,

是

的几阶无穷小?

解:设其为

的

阶无穷小,

则

因

故

练习5求

解:

原式=1

(2000考研)

三、小结

1.无穷小的比较:

反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.

高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.

思考题

任何两个无穷小量都可以比较吗？

思考题解答

不能．

都是无穷小量

但

不存在且不为无穷大

感谢您的聆听与观看

共同学习相互提高