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第1节导数基础知识篇

考点

出现频率

2022年预测

导数的几何意义

16/32

2022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．

导数与函数的单调性

7/32

导数与函数的极值

5/32

导数与函数的最值

5/32

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

考点1导数的概念和几何性质

1.概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．

要点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

2.几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．用导数研究切线问题，切点是关键．（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标的导函数值为切线斜率）．(表示倾斜角，注意等于的特殊情况)．

3.物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

考点2导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3.复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

如我们将分三步：①将复合函数分解为基本初等函数；

②将对的导数记为，将对的导数记为；③．

基础知识诊断回顾教材务实基础

考点一导数的概念和几何性质

【例1】（2020?南阳月考）若，则＝（）

A． B． C． D．

【例2】（2020?全国Ⅰ卷）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．

【例3】（2020?全国Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【拓展提升】（2020?韶关期末）已知曲线：，求过点并与曲线相切的直线方程．

【拓展提升】（2020?深圳月考）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）

A． B． C． D．

【解题总结】

1．注意导数的几何意义和物理意义．

2．先化简解析式，在求导．

3．注意区分在点的切线方程和过点的切线方程

在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

【训练1】（2021?朝阳期末）已知，则的值为（）

A． B． C． D．

【训练2】（2020?全国Ⅲ）设函数，若，则．

【训练3】（2020?渭南一模）在处的切线的倾斜角为，则的值为（）

A． B． C． D．

【训练4】(2018?全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【训练5】（2019?全国Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B．

C． D．

【训练6】（2020?清新期末）曲线在处的切线与曲线相切，则（）

A． B． C． D．

【训练7】（2020?珠海期中）直线分别与曲线，交于点，，则的最小值为（）

A． B． C． D．

考点2八大同构函数

八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．

图1-2-1图1-2-3图1-2-5图1-2-7

图1-2-2图1-2-4图1-2-6图1-2-8

对于：如图1-2-1，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；

对于：如图1-2-2，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；

关于图1-2-1和图1-2-2，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．

对于：如图1-2-3，求导后知：，在区间递减，在区间递增，；

对于：如图1-2-4，求导后