线性空间和线性映射.ppt

附：Hilbert空间定义：完备的内积空间称为Hilbert空间。其中完备性是指任何柯西序列都有极限。因此n维欧式空间是Hilbert空间的特例。平方可积空间：定义在区间[a,b]上的连续函数，可以定义内积(f,g)称满足的函数f(t)为元素的线性空间为平方可积空间。记为L2(a,b)。平方可积空间是Hilbert空间。第95页,共100页，星期六，2024年，5月平方可积空间例L2(0,2?)空间可以看做为周期函数构成的空间，其标准正交基为{sin(nt),cos(nt)}，任何一个函数在该基底下的坐标为其对应的傅里叶系数。L2(-?,?)空间为能量有限空间，其基底可以选择小波基{2j/2ψ(2jt-k)}作为基底。注意如果考虑复数值函数，则傅里叶变换为该空间上的一个线性变换，且是一一对应的，即傅里叶变换是一个同构。第96页,共100页，星期六，2024年，5月平方可和空间对离散信号定义内积称满足的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为l2(Z)。平方可和空间也是Hilbert空间，离散时间傅里叶变换。为l2(Z)到L2(0,2?)的线性映射。第97页,共100页，星期六，2024年，5月L2空间概率论中，称?为基本事件、A(?F)为事件，F是事件的全体，P(A)称为事件的概率，这样可定义概率空间(?，F，P)。用Lp=Lp(?，F，P)(p＞1)表示具有有限p阶矩的随机变量?=?(?)的空间，称为Banach空间，其中E|?|p=?。其中，起重要作用的是具有有限二阶矩的随机变量的Hilbert空间L2=L2(?，F，P)，简称为L2空间．第98页,共100页，星期六，2024年，5月L2空间（续）L2空间中的任何两个随机变量x(?)和y(?)的内积定义为(x,y)=E(xHy)。||x||2={E(xHx)}0.5称为随机向量x的范数。这样，最小||e||22既可指最小均方误差，也可指最小二乘误差。?x(t)=E(x(t,?))称为随机向量x(t,?)的均值向量。Rx(t,t+?)=E(x(t,?)xH(t+?,?))为x的自相关矩阵，x平稳时，?x(t)=?x和Rx(t,t+?)=Rx(?)。x(t,?)=x(t,?)-?x(t)为随机向量x的中心化向量。Cx(t,t+?)=Rx(t,t+?)为x的自协方差矩阵。第99页,共100页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第100页,共100页，星期六，2024年，5月例1在Rn中，对于规定容易验证(,)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。如果规定容易验证(,)2也是Rn上的一个内积，这样Rn又成为另外一个欧氏空间。第63页,共100页，星期六，2024年，5月例2在mn维线性空间Rm×n中，规定容易验证这是Rm×n上的一个内积，这样Rm×n对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在连续函数构成的线性空间C[a,b]中，规定容易验证(f,g)是C[a,b]上的一个内积，这样C[a,b]对于这个内积成为一个欧氏空间。第64页,共100页，星期六，2024年，5月Euclid空间的性质第65页,共100页，星期六，2024年，5月有限维线性欧氏空间设实数域上有限维线性空间V的基底为，设向量x与y在此基底下的表达式如下则x与y的内积可以表示如下第66页,共100页，星期六，2024年，5月取即A为实对称矩阵，而且(x,x)0表明A为正定的。第67页,共100页，星期六，2024年，5月性质：（1）当且仅当时（2）（3）（4）欧氏空间的度量定义：设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为第68页,共100页，星期六，2024年，5月例1：在线性空间Rm×n中，证明证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例2设C[a,b]表示闭区间[a,b]上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我们有证明：由于