2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.4椭圆及其性质（精练）（解析版）.docx

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8.4椭圆及其性质

【题型解读】

【题型一椭圆的定义及应用】

1.（2024·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（????）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【答案】C

【解析】因为（）是焦点在轴上的椭圆，

所以,解得：，

由可得成立，反之不能推出成立.

所以”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．

故选：C．

2.（2024·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（）

A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率

C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

【答案】D

【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，

对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，

故选项D正确，其他选项错误.

故选：D.

3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()

A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)

C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)

【答案】A

【解析】由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.

又A，B，C三点不能共线，

所以eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．

4.(2024·武汉调研)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()

A．4＋eq\r(5) B．6

C．2eq\r(5)＋2 D．8

【答案】D

【解析】设F1为椭圆的另外一个焦点，

则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，

当A，B，F1三点共线时，

|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，

当A，B，F1三点不共线时，

|AB|－|BF1|－|AF1|0，

所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.

5.（2024·全国·高三专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________

【解析】由椭圆的方程化为，可得，∴．如图所示．

∵，∴．当且仅当三点共线时取等号．∴的最小值为．

6.（2024·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．

【答案】

【解析】由题,设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.

则椭圆的焦点为.又,.

故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.

此时最大值为.

故答案为：.

【题型二焦点三角形问题】

1.（多选）（2024·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左?右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（）

A．5 B．4 C． D．

【答案】BC

【解析】由可得，，所以，

根据对称性只需考虑或，

当时，将代入可得，

如图：，，所以的面积为，

当时，由椭圆的定义可知：，

由勾股定理可得，

因为，

所以，解得：，

此时的面积为，

综上所述：的面积为或.

故选：BC.

2.（2024·山东日照高三模拟）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.

【答案】

【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，

点在椭圆上，若，则，

在△中，，，，

则，则有，故答案为．

3.（2024·重庆一中高三期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）

A．20 B．16 C．18 D．14

【答案】C

【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.

4.（2024·武功县普集高级中学期末）已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．

【答案】

【解析】由已知得，，所以，从而，

在中，，

即，①

由椭圆的定义得，

即，②

由①②得，

所以.

故答案为：

5.（2024·全国高三模拟）设F1，F2是椭圆C：=1(ab0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|P