2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.6双曲线方程及其性质（精练）（解析版）.docx

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8.6双曲线方程及其性质

【题型解读】

【题型一双曲线的定义及应用】

1.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（）

A． B．或 C．或 D．

【答案】D

【解析】由题意知，所以，所以，

所以，所以点在双曲线的左支上，

所以，所以，

故选：D.

2.（2024·福建高三期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为

比较方程，得

所以双曲线方程为，点

记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以

所以

由两点之间线段最短，得最小为

因为点在圆上运动

所以最小为点到圆心的距离减去半径1

所以

所以的最小值为8

故选：C

3.（2024·全国·高三专题练习）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意可知，，，，

若，则，或1（舍去），

若，，或13，

故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．

4.（2024·河南高三高三模拟）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线可知：

的周长为.

当轴时，的周长最小值为

故答案为：C

5.（2024·全国·高三专题练习）（多选题）已知曲线：，则下列说法正确的是（????）

A．若曲线表示双曲线，则

B．若曲线表示椭圆，则且

C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则

D．若曲线与椭圆有公共焦点，则

【答案】BCD

【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；

对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；

对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，

所以，则，解得，故C正确；

对于D：椭圆的焦点为，

若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；

若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；

故选：BCD

6.(2024·深圳模拟)在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，，

，

所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），

，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，

故选：A．

【题型二焦点三角形问题】

1.（2024·青岛高三模拟）已知，分别是双曲线的左?右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（）

A．8 B． C．16 D．

【答案】C

【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，

两边平方得，

所以.

在中，由余弦定理得，

所以，所以。故答案为：C

2.（2024·山东日照高三模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，

又，所以，，设，

所以，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以面积的最大值是，故答案为：A.

3．（2024·武功县普集高级中学期末）已知双曲线：的左?右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.

【答案】

【解析】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，

由双曲线定义知，所以，

所以，

所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，

此时，直线方程为，

由，得，

故点，

.

故答案为：.

4．（2024·全国高三模拟）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.

【题型三双曲线的标准方程】

1.（2024·全国高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，，再由，解得：，该双曲线的标准方程为，

故选D.

2.（2024·全国高三专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为（）