1.1 直线的斜率与倾斜角 【同步教案】(解析版).docxVIP

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1.1

1.1直线的斜率与倾斜角

讲

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教材知识梳理

教材知识梳理

直线的斜率

1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.

2.斜率与直线倾斜程度的关系

(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜.

(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜.

(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合

直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

3.直线的斜率与倾斜角之间的关系

当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足

当0，为锐角，当0时，为锐角，当=0时，=0°

当直线与x轴垂直时，-90°，直线的斜率不存在

注意

注意

(1)每一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率.

(2)在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.

例

例

例题研究

例题研究

斜率与倾斜角的变化关系

斜率与倾斜角的变化关系

题型探究

题型探究

例题1

若直线经过，两点，则直线倾斜角的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两点求出直线的斜率，由，根据三角函数的性质即可求解.

【详解】

直线经过，两点，

，

，

，

.

故选：B

【点睛】考查了两点求直线的斜率、直线的倾斜角与斜率之间的关系

例题2

已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围．

【详解】

易求得线段的方程为，得，

由直线的方程得

，

当时，，此时，；

当时，，此时，．

因此，实数的取值范围是或，故选A．

【点睛】考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围

跟踪训练

跟踪训练

训练1

下列命题中，正确的是（）

A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是

D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.

【答案】C

【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.

【详解】

倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.

故选：C.

【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：

（1）当直线倾斜角为时，直线的斜率不存在；

（2）倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；

（3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数分析定义域与值域的关系.

训练2

已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意表示出，再根据的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得；

【详解】

解：因为，所以，

因为，所以，

设倾斜角为，，则，

所以.

故选：B

【点睛】考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性

直线的倾斜角

题型探究

题型探究

例题1

已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据倾斜角的正弦值，由倾斜角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出倾斜角的余弦函数值，然后求出倾斜角的正切值即为此直线的斜率．

【详解】

设直线的倾斜角为，则，

所以

所以，所以此直线的斜率是.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系．

例题2

若直线的倾斜角为，则

A．等于 B．等于 C．等于 D．等于

【答案】C

【分析】根据直线方程判断该直线与轴的位置关系，即可求出该直线的倾斜角.

【详解】

因为直线与轴垂直，因此，.

故选：C.

【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，解题时要求出直线的斜率，并理解斜率与倾斜角之间的关系

跟踪训练

跟踪训练

训练1