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《空间向量及其运算空间向量及其线性运算》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积.

难点：用向量方法解决立体几何问题.

三、教科书编写意图及教学建议

本节包括空间向量及相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容.在用空间向量解决立体几何问题的过程中，首先要用空间向量表示立体图形中的几何元素，然后利用空间向量的运算研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题，最后再把空间向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.因此，空间向量的概念及其运算的内容是用空间向量解决立体几何问题的基础，也是本节教学的重点.

向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.实际上，平面向量都可以看作空间向量，空间向量的概念、表示与平面向量具有一致性.另外，由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，两个空间向量的加法、数乘、数量积运算与平面向量也具有一致性.因此学习本节内容的主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教学中，要充分关注这种学习的可迁移性，鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间.

在本节学习中，由于学生已有“立体几何初步”的基础，已有空间直线、平面平行、垂直等概念，将向量的概念、运算从平面推广到空间对学生来说并不困难，但这一过程仍要一步步地进行.由于现在研究的范围已由平面扩展到空间，而我们研究的是自由向量，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，而是互相平行的“平面集”，这些都需要学生对向量有新的理解.另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量一致，但在空间它们的几何表示是不同的，因此需要学生在空间上进一步体会其运算法则、验证其运算律，提高空间想象力，发展直观想象的数学学科核心素养.

对于用空间向量解决立体几何问题，教科书并不是在完整学习空间向量之后才集中安排，而是在全章进行了“先分散、后集中”的处理.在学习空间向量的概念及其运算时，教科书结合相关内容的学习，及时应用它们解决立体几何问题，在本节，教科书在给出共线、共面向量的充要条件之后，安排了证明立体几何中四点共面的问题；在数量积运算之后安排了证明直线与平面直垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题等.对于这些问题，尽管学生已经有了用平面向量解决平面几何问题的一些经验，但是由于初次接触用空间向量解决立体几何问题，图形的维数增加了，也更加抽象了，学生对于如何用空间向量表示立体图形中的相关元素，如何通过运算得出这些元素间的几何关系还比较陌生，因此这是本节教学中的难点.教学中，要结合具体问题，引导学生类比利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法，学习利用空间向量解决立体几何问题，从中体会用空间向量解决立体几何问题的基本思路和方法，发展数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.

空间向量及其线性运算

本节从滑翔伞运动中飞行员受力问题出发，类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.

通过本小节的学习，应使学生理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加淢、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.

1.空间向量及相关概念

向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.由于空间向量是平面向量的推广，因此空间向量及其相关概念、空间向量的表示法等与平面向量都是一致的.教学时，空间向量的概念、表示法，以及长度（模)、零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向量)、相等向量等相关概念都可以在复习平面向量的相关概念后直接给.要注意让学生理解，当研究范围拓展到空间以后，平面向量也是空间向量，研究平面向量时可以将它们在同一平面内进行平移，而研究空间向量时则可以将它们在空间中进行平移.

从一般的向量空间的角度来看，零向量与任意向量是线性相关的，即零向量与任意向量平行（共线).对于零向量，教科书给出了规定：零向量与任意向量平行.零向量的方向是任意的，规定了零向量与任意向量平行，也就说明它与任意向量垂直.规