《导数概念及其意义》知识清单 (2).docxVIP

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《导数概念及其意义》知识清单

知识点1物理中的变化率问题

1.平均速度

设物体的运动规律是,则物体在到这段时间内的平均速度为①_______.

2.瞬时速度

(1)物体在②______的速度称为瞬时速度.

(2)一般地,当无限趋近于0时,无限趋近于某个常数,我们就说当趋近于0时,的极限是,这时就是物体在时的瞬时速度,即瞬时速度③______=④________.

知识点2几何中的变化率问题

1.抛物线割线的斜率

设二次函数,则抛物线上过点,、的割线的斜率为⑤________.

2.抛物线切线的斜率

一般地,在二次函数中,当无限趋近于0时,无限趋近于某个常数,我们就说当趋近于0时,的极限是,这时就是抛物线在点,处切线的斜率,即切线的斜率⑥______⑦______.

知识点3函数在某点处的导数

1.函数平均变化率的定义

对于函数,设自变量从变化到,相应地,函数值就从变化到.这时,的变化量为的变化量为⑧______.

我们把比值,即⑨_______叫做函数从到的平均变化率.

2.函数在处的导数(瞬时变化率)

如果当时,平均变化率无限趋近于一个⑩_______,即有eq\o\ac(○,11)________,则称在处eq\o\ac(○,12)_______,并把这个确定的值叫做在处的eq\o\ac(○,13)_______(也称为瞬时变化率),记作或,即eq\o\ac(○,14)___________.

知识点4函数在某点处的导数的几何意义

1.切线的定义

在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点,)时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线eq\o\ac(○,15)_______的切线.

2.函数在某点处的导数的几何意义

函数在处的导数就是切线的斜率,即eq\o\ac(○,16)_______.这就是导数的几何意义.相应地,切线方程为eq\o\ac(○,17)________.

知识点5导函数的定义

从求函数在处导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的函数,我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即.

【答案】

①②某一时刻③④

⑤⑥⑦⑧

⑨⑩确定的值eq\o\ac(○,11)极限eq\o\ac(○,12)可导eq\o\ac(○,13)导数

eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)在点处eq\o\ac(○,16)

eq\o\ac(○,17)

【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“”.

1.趋近于0表示.()

2.瞬时速度是刻画某函数值在区间上变化快慢的物理量.()

3..()

4.抛物线在点处的切线与轴交点的纵坐标是3.()

5.在平均变化率中,均为正值.()

6.若函数的导数存在,则函数在处的导数是一个常数.()

7.函数的平均变化率刻画了函数值在区间上变化的快慢.()

8.直线与曲线相切,则直线与该曲线只有一个公共点.()

【答案】

1.×趋近于0,即无限小,但不等于0,否则

无意义.

2.×平均速度是刻画某函数值在区间上变化快慢的物理量.

3.√设,则,当趋近于0时,趋近于,因此.

4.√∵切线的斜率为抛物线在点处的切线方程为,即切线与轴交点的纵坐标是.

5.×可正、可负;可正、可负、可为0.

6.√是导函数在处的函数值.

7.√

8.×直线与曲线相切时,除切点外可能还有其他公共点,因此直线与该曲线的公共点可能不唯一.