《4.3.1--4.3.2等比数列的概念、通项公式》(含答案)学案.docVIP

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§4.3.1--§4.3.2等比数列的概念、通项公式

目标要求

1、借助教材实例理解等比数列．

2、借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质．

3、会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题．

4、体会等比数列与指数函数的关系.

5、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

学科素养目标

在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．

本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．

重点难点

重点：会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题；

难点：体会等比数列与指数函数的关系．

教学过程

基础知识积累

1.等比数列

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．

【课前预习思考】

(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？

提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”．

(2)怎样利用递推公式表示等比数列？

提示：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0).

2．等比中项

在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．

【课前预习思考】

G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？

提示：a与b同号，满足的关系式是G2＝ab.

3．等比数列的通项公式

首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．

【课前预习思考】

等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)有什么联系？

提示：an＝a1·qn－1＝eq\f(a1,q)·qn，当q0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)在x＝n时的值，即an＝f(n).数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上．反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·}．

【课前小题演练】

题1．（多选）下列说法错误的是()

A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数，则该数列为等比数列

B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零

C.常数列一定为等比数列D.任何两个数都有等比中项

【答案】BCD

【解析】A√.根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．

B×.当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．

C×.当常数列不为零时，该数列才是等比数列．

D×.当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．

题2．（多选）下列数列为等比数列的有()

A.2，22，3×22B.eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4)，eq\f(1,a5)(a≠0)

C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5D.1，1，1，1，1

【解析】选BD.eq\f(22,2)≠eq\f(3×22,22)，所以A不是等比数列；B是首项为eq\f(1,a)，公比为eq\f(1,a)的等比数列；C中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；D显然是等比数列．

题3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)