专题05 勾股定理中的最值问题（原卷版）.pdfVIP

专题五勾股定理中的最值问题

考点一将军饮马问题

【方法点拨】运用“两定一动”的模型求最值。

1．如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为

30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村．

（1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法）

（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？

2．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千

米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上

选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

3．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量

CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．

（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；

（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想2+4+(12―)2+9的最小

值为．

4．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级

自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为10km

和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）

是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S＝PA+PB，图（2）是方案二

1

的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S＝

2

PA+PB．

（1）求S、S，并比较它们的大小；

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（2）请你说明S＝PA+PB的值为最小；

2

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直

线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最

小．并求出这个最小值．

考点二立体图形中的最短距离问题

【方法点拨】将立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”原理求最值。

1．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的

长是（）

A．32+8B．10C．14D．无法确定

2．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）

要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）

A．41cmB．34cmC．52cmD．53cm

3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表

面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A．521B．25C．105+5D．35

4．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此

时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为

m（容器厚度忽略不计）．

5．如图所示，长方体中AD＝2.5，DC＝