2023-2024学年天津市北辰区高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年天津市北辰区高三（上）期中数学试卷

一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，0，1，，，，，0，，则

A．， B．， C．， D．，，0，

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知，，，则

A． B． C． D．

4．函数的部分图象大致为

A． B．

C． D．

5．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是

A． B． C． D．

6．已知数列的前项和为，且，则

A． B． C．16 D．32

7．观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是

A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关

C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关

8．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，△为等边三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

9．双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，若原点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．已知为虚数单位），则．

11．的展开式中，的系数等于．

12．一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于，两点，则．

13．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是．

14．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则：

（Ⅰ）的值为；

（Ⅱ）的最大值为．

15．已知函数，函数，若．，不等式成立，则实数的取值范围为．

三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（14分）在中，，，分别为三个内角，，的对边，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求和的值．

17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值．

18．（15分）已知椭圆的离心率，直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、，线段的中垂线为，若在轴上的截距为，求直线的方程．

19．（15分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，，各项均为正数的等比数列满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，数列的前项和；

①求；②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围．

20．（16分）已知函数．

（1）当时，求曲线在处切线的斜率；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围．

2023-2024学年天津市北辰区高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，0，1，，，，，0，，则

A．， B．， C．， D．，，0，

解：因为全集，，0，1，，，，，0，，

所以，0，，

则，．

故选：．

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

解：，故或；，则或，

故“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

3．已知，，，则

A． B． C． D．

解：由已知，

，

，即，

所以．

故选：．

4．函数的部分图象大致为

A． B．

C． D．

解：函数的定义域为，，

可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项、；

由（1），可排除选项，

故选：．

5．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是

A． B． C． D．

解：由于没有周期性，故排除；

由于，它的周期为，故排除；

由于的周期为，在区间上，

，，单调递减，故排除．

由于的周期为，

在区间上，，，且单调递减，

故单调递增，故正确，

故选：．

6．已知数列的前项和为，且，则

A． B． C．16 D．32

解：当时，，即，

当时，，

所以，

所以，，

因此，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

所以，，

所以，

故选：．

7．观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是

A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关

C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关

解：第一个