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江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（????）

A． B． C． D．

2．设为实数，已知直线：，：，若，则（????）

A． B．2 C．2或 D．5或

3．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（????）

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（????）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5．设等差数列的前项和为，若，则（????）

A． B．4 C． D．

6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（????）

A．x2＝8y B．x2＝4y

C．y2＝8x D．y2＝4x

7．设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（????）

A．圆上点到直线的最小距离为

B．圆上点到直线的最大距离为

C．点在圆上，当最小时，

D．点在圆上，当最大时，

二、多选题

9．已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（????）

A．极差为6 B．众数为4 C．方差为4 D．中位数为5

10．下列化简正确的是（????）

A． B．

C． D．

11．若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（????）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

12．已知曲线：是双曲线，下列说法正确的是（????）

A．直线是曲线的一条渐近线

B．曲线的实轴长为

C．为曲线的其中一个焦点

D．当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点

三、填空题

13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是.

14．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是．

15．设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是.

16．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为.

四、解答题

17．某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，.

(1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率；

(2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率.

18．设等差数列的前项和为.已知，.

(1)求；

(2)当为何值时，最小？并求此最小值.

19．在中，角，，所对的边分别为，，且满足.

(1)求角的值；

(2)若，且的面积为，求的周长.

20．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；

(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.

21．已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.

????

(1)若点的坐标为，证明：直线；

(2)求线段的长.

22．已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：

(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；

(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.

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参考答案：

1．C

2．D

3．A

4．C

5．C

6．C

7．B

8．C

9．ABC

10．ACD

11．CD

12．ACD

13．

14．.

15．

16．其中