2025年高考数学重点题型归纳精讲精练5.4三角形四心和奔驰定理（新高考地区）（解析版）.docx

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5.4三角形四心和奔驰定理

【题型解读】

【题型一三角形的重心】

1.（2024·河南高三月考）设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（???????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】C

【解析】因为，所以，记BC中点为D，则，因为，所以点P的轨迹为射线AD，所以P的轨迹一定通过的重心.

故选：C

2.（2024·陕西·交大附中模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：

①，②，

③，④

则点分别为的

A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心

C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心

【答案】D

3.（2024·山东·山师附中模拟预测）在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，即.

因为O为△ABC的重心，且，

所以△ABC为等边三角形.

因为，

所以.

因为，

所以△ABC外接圆的半径为.

故选：B

4.（2024·云南玉溪·高三月考）在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________.

【答案】5

【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

∵AB＝1，∠ABC＝60°，

∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.

∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以

.

故答案为：5.

【题型二三角形的内心】

1.（2024·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）中，a?b?c分别是BC?AC?AB的长度，若，则O是的（???????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【解析】

在的角平分线上，同理在的角平分线上，

点为三角形的角平分线的交点

故点是三角形的内心.

故选：B.

2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的

A．重心B．外心C．内心D．垂心

【答案】C

【解析】，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C．

3.（2024·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（???????）

A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心

【答案】D

【解析】由题意可设，，，

其中，，分别为，，方向上的单位向量，

∵，

∴，

则，

∴=.

∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.

∴M为△ABC的内心.

故选：D.

4.（2024·江苏姑苏·苏州中学高三月考）设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的

A．重心B．外心C．内心D．垂心

【答案】C

【解析】因为，所以，，所以，，所以，，所以，，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选C．

5.（2024·济南中学高三月考）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（???????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【解析】因为

则,即

移项可得

即

则

因为

所以

化简可得,即

设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量

所以,

则

所以

则在的角平分线上

同理可知在的角平分线上

因而为的内心

故选:B

【题型三三角形外心】

1.（2024·甘肃·高台县第一中学模拟预测）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤

①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；

③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；

⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．

【答案】①②③④⑤

【解析】对于①，动点满足，，则点是的心，故①正确；对于②，动点满足，，又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，的内心在满足条件的点集合中，②正确；对于③，动点满足，，，过点作，垂足为，则，，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；对于④，动点满足，，，，的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；对于⑤，动点满足，设，则，由④知，，，点的轨迹为过的