2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.7抛物线方程及其性质（精讲）（解析版）.docx

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8.7抛物线方程及其性质

【题型解读】

【知识必备】

1．抛物线的概念

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

焦点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

对称轴

x轴

y轴

顶点

(0,0)

离心率

e＝1

常用结论

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；

(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；

(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

【题型精讲】

【题型一抛物线的定义及应用】

方法技巧处理抛物线定义的技巧

“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．

例1（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（???????）

A．4 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，

可得，解得故选：D.

例2（2024·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，

如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.

，则．

故选：B．

例3（2024·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,

由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，

所以，其方程为，

故选：A

【跟踪精练】

1.（2024·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.

2.(2024·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．

【答案】

【解析】圆的圆心为，半径，

抛物线的焦点，

因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，

所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，

连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，

即，

所以的最小值为，

故答案为：

3.（2024·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．

【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，

∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．

∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．

∴抛物线的方程为，

又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，

∴M点的轨迹方程为②．

综上，得动点M的轨迹方程为或．

【题型二抛物线的方程】

例4（2024·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【解析】设为，则，