2025年高考数学重点题型归纳精讲精练9.9超几何分布、二项分布和正态分布（精讲）（解析版）.docx

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9.9超几何分布、二项分布和正态分布

【题型解读】

【知识储备】

一、二项分布

1．伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

2．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

二、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

三、正态分布

1．定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，

则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

2．正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

3．3σ原则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

【题型精讲】

【题型一超几何分布】

必备技巧求超几何分布的分布列的步骤

（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；

（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

（3）列出分布列．

例1（2024·华师大二附中高三练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.

(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；

(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.

【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，

整理得到即，解得．

若2个全是大集团，共有种情况；

若2个全是小集团，共有种情况；

故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．

（2）由题意知，随机变量的可能取值为，

计算，，

，，

故的分布列为：

0

1

2

3

数学期望为．

例2北京某高校有20名志愿者报名参加2024年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.

(1)若，求X的分布列与数学期望；

(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?

【解析】（1）当时，X的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

.

（2）的概率为，，且.

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以当时，的概率取最大值，最大值是.

【题型精练】

1.（2024·贵州省思南中学高三月考）某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.

（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？

（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.（2）分布列见解析，.

【解析】（1）甲小组的平均数：

甲小组的方差：

，

乙小组的平均数：

乙小组的方差：

.

两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.

（2）甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.