级下第26次课完整版.pptx

一、线性方程上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.线性的;非线性的.一阶线性微分方程的标准形式:例如

齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)

2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:

常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换

积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解

解例1

例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程

所求曲线为

伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.

求出通解后，将代入即得代入上式

解例3

例4用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为

解分离变量法得所求通解为

解代入原式分离变量法得所求通解为另解

三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程

第五节全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结

一、全微分方程及其求法1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.

2.解法:?应用曲线积分与路径无关.通解为?用直接凑全微分的方法.全微分方程

解是全微分方程,原方程的通解为例1

解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2

二、积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?

1.公式法:求解不容易特殊地:

2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式

可选用的积分因子有解例3则原方程为

原方程的通解为(公式法)可积组合法

解将方程左端重新组合,有例4求微分方程原方程的通解为

解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例5求微分方程

解1整理得A常数变易法:B公式法:例6

解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:

C不定积分法:原方程的通解为

三、一阶微分方程小结