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《两平面垂直》教学设计一

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题引入

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

问题3：观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？

学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：打开的笔记本电脑，打开的门.最后提出问题：怎样定义两个平面所成的角呢？

复习巩固，以旧导新，并通过实例，使学生对本节所要学习的新知有初步的了解.

探究新知

一、二面角

1.二面角的定义、画法与记法.

（1）半平面.

平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.

（2）二面角

一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面.

（3）二面角的表示与画法.

如图,棱为、面为的二面角,记作二面角.有时为了方便,也可在内（棱以外的半平面部分)分别取点,将这个二面角记作二面角.如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或.

2.二面角的平面角的定义与范围.

（1）一般地，以二面角的棱上任意一点为端点,在两个平面内分别作垂直于棱l的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

如图,在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫作二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的大小与点位置无关.

(3)二面角的平面角的范韦是.

(4)平面角为直角的二面角叫作直二面角.

例1如图,在正方体中：

(1)求二面角的大小；

(2)求二面角的大小.

解（1）在正方体中,平面,所以.

因此,为二面角的平面角.

在中,,

所以二面角的大小为.

（2）同理,为二面角的平面角.因为,

所以二面角的大小为.

二、两个平面互相垂直

1.两个平面互相垂直的定义、记法与画法.

一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.

画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直（如图）.

平面与垂直，记作.

2.平面与平面垂直的判定定理.

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

用符号表示为（如图）：

.

注意：平面与平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.

例2如图，在正方体中，求证：平面平面.

证明

.

3.平面与平面垂直的性质定理.

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

已知：，B为垂足（如图）.

求证：

分析因为,所以要证,只需在内找一条与相交的直线垂直于.

证明在平面内作,则是二面角的平面角.

由,可知.

又因为,且,所以.

例3证明:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.

已知:如图).求证:.

证明设.过点在平面内作直线.

根据平面与平面垂直的性质定理,有.

因为经过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，即.

教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形定义、构成、表示等几个方面进行列表对比）.

师生共同实验（折纸），思考：二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？

生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.

师：改变O的位置，这个角的大小变不变？

生：由等角定理知不变.

教师出示例1，学生思考如何求解.

师生根据二面角的定义，寻找所求角的平面角，共同解答例1.

教师引导学生类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义，得出两个平面互相垂直的定义.

教师讲解两个平面垂直的画法的注意点，学生试着画图.

学生思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直（如图）？

师：通过观察，可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直.

师：要证两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需要在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线即可观察图形我们应该在哪个平面内找条直线呢？

生：在平面内找直线BD，显然BD与AC，均垂直.

学生展示证明过程.

教师指出学生证明过程中存在的问题，