数学好玩2神奇的莫比乌斯带（学霸课堂笔记）2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）.docx

数学好玩2神奇的莫比乌斯带

第一部分

第一部分

知识清单

将一张纸条扭转180?后，两头再粘接在一起形成“神奇的带子”，即莫比乌斯带。

在莫比乌斯带上取一点，从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，莫比乌斯带上的颜色总被涂了两面。

在一张长方形纸条中间画一条线，再做成莫比乌斯带，沿纸条上的线把莫比乌斯带剪开，它变成一个大的纸环，但不再是莫比乌斯带。

第二部分

第二部分

典型例题

例1：一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有（????）个面。

A．三 B．两 C．一 D．四

答案：C

分析：将长方形长条扭一下，再将两端粘合，得到了莫比乌斯带。视觉上，莫比乌斯带有两个面，但实际上它只有一个面。据此解题。

详解：一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有一个面。

故答案为：C

例2：淘气用纸片做了一个莫比乌斯带，如图，将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是（????）。

??

A．两个分开的纸环 B．一个大的纸环，但不是莫比乌斯带

C．一个大的莫比乌斯带 D．两个套在一起的纸环

答案：B

分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开；纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。

详解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，得到一个两倍长的纸环。

故答案为：B

例3：下图是克莱因瓶，这个瓶子()（填“能”或“不能”）装满水。

答案：不能

分析：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这就是克莱因瓶。根据生活实际，克莱因瓶不能装满水。

详解：这个瓶子不能装满水。

例4：图1的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图2的纸环是将一张长方形纸条一端旋转180°，再将两端粘上得到的。图2的纸环叫()。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占()%，图2中涂色的部分占()%。

??

答案：莫比乌斯带50100

分析：把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。所以，图2是莫比乌斯带。涂色时，图1只有外面一个面能够涂上色，那么涂色部分占50%。莫比乌斯带只有一个面，那么涂色时都能涂上色，涂色部分占100%。

详解：图2的纸环叫莫比乌斯带。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占50%，图2中涂色的部分占100%。

：基础过关练

一、填空题

1．如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到()个圈。

2．莫比乌斯带是用数学家莫比乌斯的姓命名的，该数学家在1858年研究“四色定理”时偶然发现，即把一根纸条一头扭转()°后，两头再粘接起来做成纸环，这个纸环具有魔术般的性质。一般常见的纸环具有()的面和()的面两个面（即双侧曲面），两个面可以分别涂成()的颜色。而这样的纸环只有()面（即单侧曲面），沿着面涂颜色最后涂成的是()颜色。这样的神奇的单面纸环后来就用数学家莫比乌斯的姓命名为“()”，也叫“()”。

3．把长方形的长纸条先捏着一端，将另一端扭转180°，再粘贴起来，形成一个环，这个纸环叫()。

4．沿着纸环的()处剪就会使一个小纸环变成一个大纸环。

5．沿着纸环的()处剪就会使纸环变成一大一小两个纸环套在一起。

二、选择题

6．如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是（????）。

A．两个独立的纸环 B．一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）

C．一个长方形纸条 D．一个两倍长的莫比乌斯圈

7．淘气用纸片做了一个莫比乌斯带，如图，将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是（????）。

A．一个大的莫比乌斯带

B．两个套在一起的纸环

C．两个分开的纸环

D．一个大的纸环，但不是莫比乌斯带

8．如图，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成（????）个纸环。

A．1 B．2 C．3 D．4

9．关于莫比乌斯带，以下叙述错误的是（????）。

A．普通纸能做成莫比乌斯带 B