专题05 邻边相等对角互补半角模型证全等（解析版）.pdfVIP

专题05邻边相等对角互补半角模型证全等

类型一正方形中的半角模型

1．如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且ÐEAF=45°，

求证：BE+DF=EF．

【答案】见解析．

【解析】

【分析】

将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然后求出

∠FAG=∠EAF“”△AEF△AGFEF=FG

，再利用边角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出

结论．

【详解】

A90°VADGAB

如解图，将△ABE绕点逆时针旋转至的位置，使与AD重合．

∴AG=AE，ÐDAG=ÐBAE,DG=BE．

∵ÐEAF=45°．

∴ÐGAF=ÐDAG+ÐDAF=ÐBAE+ÐDAF=ÐBAD-ÐEAF=90°-45°=45°，

∴ÐEAF=ÐGAF．

在VAGF和VAEF中，

AG=AE

ì

ï

íÐGAF=ÐEAF,，

ï

AF=AF

î

∴△AGF≌△AEFSAS．

∴EF=GF．

∵GF=DG+DF=BE+DF，

∴

BE+DF=EF．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角

形．

2．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射

AQCDQBBE⊥APEAQFDF

线，交直线于点，过点作于点，交于点，连接．

1

（）依题意补全图形；

2BEEFDF

（）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

12+=

BEDFEF

【答案】（）补全图形见解析；（），证明见解析．

【解析】

【分析】

1

（）根据题意补全图形即可．

2,=

FEHEHEFABHADF

（）延长到使，根据题意证明△≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明．

【详解】

1

（）补全图形

2+=

BEDFEF

（）．

,=

证明：延长FE到H使EHEF

∵BE⊥AP，

=

AHAF

∴，

∴∠HAP=∠FAP=45°，

∵四边形ABCD为正方形，

=

ABAD

∴，

∠BAD=90°

∴∠BAP+∠2=45°，

∵∠1+∠BAP=45°

∴∠1=∠2，

ABHADF

∴△≌△，

∴DF=BH，

+==

∵BEBHEHEF，

+=

∴BEDFEF．

【点睛】

此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．

3+=

EFABCDCDDACEAFEF∠EBF

．如