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三角形的五心向量结论证明

1.是的重心(其中是三边)

P

P1

P3

O

P

证明：充分性:是的重心

若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。

2.在

2.在

中，给出

等于已知AD是

中

BC边的中线;

*△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心

*为△ABC的重心(P是平面上任意点).

证明

∵G是△ABC的重心

∴==，即

由此可得.(反之亦然(证略))

*若O是的重心，则

2.

*点是的垂心

证明：是的垂心,

同理

故当且仅当.

*O是△ABC所在平面一点

则O是△ABC的垂心

证明：由，得，所以。同理可证。容易得到由以上结论知O为△ABC的垂心。

*设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心

*若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，

则

S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC

故tanA·+tanB·+tanC·=

3.点是的外心．

证明：O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)

(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)

ABCDO*若点O为△ABC所在的平面一点，满足，则点O

A

B

C

D

O

证明：因为，所以

同理得由题意得，所以，得。故点O为△ABC的外心。

*两点分别是的边上的中点,且

若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=

证明：设点在部，由向量基本定理，有，则设：，则点为△DEF的重心，又，，，∴

若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C

故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=

4.是的心。(其中是三边)

证明：充分性：是的心

=

所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的心。

*为的心.心（角平分线交点）

证明：分别为方向上的单位向量，平分,

)，

同理：

得代入解得，

（)

化简得，

*设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的心;

*设，则向量必平分∠BAC的邻补角

*

*O是△ABC的心充要条件是

*若O是△ABC的心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c

故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=;

*设为△ABC所在平面任意一点，I为△ABC的心，

*

心I（EQ\F(aXA+bXB+cXC,a+b+c)，EQ\F(ayA+byB+cyC,a+b+c)）

证明：由是的心。(其中是三边)（见心的充要条件的证明）

,∴I（EQ\F(aXA+bXB+cXC,a+b+c)，EQ\F(ayA+byB+cyC,a+b+c)）.

是的心。(其中是三边)

若o为三角形的旁心，则a=b+c(abc是三边)

*已知为的外心，求证：．

分析构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．

直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．

于是，容易验证，，

又，，，又，则所证成立．

与三角形“四心”相关的向量结论

随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。

问题：设点在部，且有，则与的面积的比值是____.

分析：∵设，则，

则点为的重心.∴.

而，∴.

探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。

结论：设点在部，若，则

证明：已知点在部，且

设：，则点为△DEF的重心，

又，，，

∴

说明:此结论说明当点在部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。

应用举例：设点在部，且，则的面积与的面积之比是：

A．2：1B．