第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（练习）（含答案解析）.docx

第07讲抛物线及其性质

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：抛物线的定义与标准方程 2

题型二：抛物线的轨迹方程 3

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 4

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 7

题型五：焦半径问题 11

题型六：抛物线的几何性质 12

题型七：抛物线焦点弦的性质 14

题型八：抛物线的实际应用 19

02重难创新练 22

03真题实战练 39

题型一：抛物线的定义与标准方程

1．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的，则抛物线方程可求.双曲线的渐近线方程是，即.

因为抛物线的焦点到渐近线的距离为2，

则，即，所以的标准方程是，

故选：D．

2．若点满足方程，则点的轨迹是（????）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【解析】等式左侧表示点与点间的距离，

等式右侧表示到直线的距离，

整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等，

且点不在直线上，

所以点轨迹为抛物线.

故选：D.

3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（????）A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设抛物线的标准方程为，

将点点代入，得，解得，

所以抛物线的标准方程是.

故选：B

题型二：抛物线的轨迹方程

4．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为．

【答案】

【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．

故答案为：.

5．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．

【答案】

【解析】由题意，

由得，

化简得．

故答案为：．

6．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆的圆心的轨迹方程为.

故选：C

7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，

则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，

故选：B.

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

8．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为.

【答案】

【解析】抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，

过点作垂直准线交于点，则，

所以，当且仅当、、三点共线时取等号，

即平行于轴时取最小值，此时，则，即，

所以.

故答案为：

9．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为.

【答案】3

【解析】设点，则）根据点是的外心,，

而，则

所以

从而得到点的轨迹为，焦点为

由抛物线的定义可知因为，

，

即，

所以的最小值为3，

故答案为：3

10．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为．

【答案】

【解析】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，

由题可知，的周长为，

又，

易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．

故答案为：

11．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为.

【答案】8

【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，

当垂直于抛物线的准线时，最小，

此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，

半径为，所以的最小值为.

故答案为：8.

12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为.

【答案】

【解析】抛物线的焦点，准线，设，

则，解得，显然，不妨设，

关于直线的对称点为，则

因此，当且仅当三点共线时取等号，

所以的最小值为.

故答案为：

13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为.

【答案】

【解析】由，得，所以，准线为，

不妨设点在第一象限，过作于，则，得，

则，得，所以，

设点关于直线对称点为，则，

所以，

当且仅当三点共线时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题

14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与