2024八年级数学上册第十七章特殊三角形练素养2.利用勾股定理解题的九种常见题型习题课件新版冀教版.pptxVIP

冀教版八年级上第十七章特殊三角形集训课堂练素养2.利用勾股定理解题的九种常见题型

勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾

股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，说明含有平方

关系的几何问题，解决实际应用问题及最短路径问题、折叠

问题等.在解决过程中往往利用勾股定理列方程，有时需要

通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题.

题型1利用勾股定理求线段长1.在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进

行了如下的操作：操作一：如图①，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使

斜边两个端点A与B重合，折痕为DE.123456789

(1)如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长

为?；【点拨】由翻折的性质可知BD＝AD，∴AD＋DC＝BC＝7cm.∴△ACD的周长＝CD＋AD＋AC＝BC＋AC＝

7＋5＝12(cm).12cm123456789

(2)如果∠CAD∶∠BAD＝1∶2，可得∠B的度数

为?；【点拨】设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x.由翻折的性质可知∠BAD＝∠B＝2x.∵∠B＋∠BAC＝90°，∴2x＋x＋2x＝90°.解得x＝18°.∴2x＝2×18°＝36°.∴∠B＝36°.36°123456789

操作二：如图②，李欢同学拿出另一张Rt△ABC纸片沿某

条直线折叠，使点A与点E重合，折痕为CD.若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长.123456789

?∴EA＝3.6×2＝7.2(cm).∴BE＝AB－AE＝10－7.2＝2.8(cm).123456789

题型2利用勾股定理说明线段相等2.如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，

AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.123456789

【证明】∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形.由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2，即AB＝BC.123456789

题型3利用勾股定理说明线段之间的平方关系3.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.123456789

【证明】如图，连接BM.∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形.∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.123456789

题型4利用勾股定理求四边形中线段长(构造法)4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，

∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的

长度.123456789

?解得x＝10.∴BC＝10，CD＝6.123456789

题型5利用勾股定理求折叠中线段长(方程思想)5.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，

AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上

的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与

AC的交点为E，则AE的长是(A)A123456789

【点拨】由折叠的性质可得AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，

CE＝DE，∠C＝∠CDE.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠ADB＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2.设AE＝x，则CE＝DE＝3－x，?【答案】A123456789

【点技巧】根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段和

角.在Rt△ADE中，设AE＝x，利用折叠的性质，表示

出各边长，列方程求解即可.123456789

题型6利用勾股定理求动点中线段长6.如图