上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．函数的定义域为．

2．计算．

3．已知是1与9的等比中项，则正实数．

4．在的展开式中，的系数为（用数字作答）．

5．在复平面内，复数对应的点位于第象限.

6．已知，则．

7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为．

8．已知f′x是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（从中选择作答）．

9．已知函数．在中，，且，则．

10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为．

??

11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是．

12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为．

二、单选题

13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（???）

A． B．

C． D．

14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（???）

A．不存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都不垂直

C．存在，使得与重合 D．对任意的，与都有公共点

15．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（????）

A． B． C． D．

16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（???）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

三、解答题

17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．

??

(1)求证：；

(2)若异面直线与所成角为，求的值．

18．已知点、、，是坐标原点.

（1）若，求的值；

（2）若实数、满足，，求的最大值.

19．生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：

跑步软件一

跑步软件二

跑步软件三

跑步软件四

中学生

80

60

40

20

大学生

30

20

20

10

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；

(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；

(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）

20．在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．

(1)求该椭圆的离心率；

(2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值；

(3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．

21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.

(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；

(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；

(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

B

D

B

C

1．

【分析】根据分式和根式对自变量的要求可得答案.

【详解】因为，所以，即，所以定义域为.

故答案为：.

2．/

【分析】运用对数运算性质计算即可

【详解】

故答案为：.

3．3

【分析】根